Номер 661, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 661, страница 197.

Условие.

661 1) $6 \sin^2 x - \cos x + 6 = 0$;

2) $8 \cos^2 x - 12 \sin x + 7 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $6 \sin^2 x - \cos x + 6 = 0$

Для решения данного тригонометрического уравнения приведем его к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$6(1 - \cos^2 x) - \cos x + 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6 - 6 \cos^2 x - \cos x + 6 = 0$
$-6 \cos^2 x - \cos x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$6 \cos^2 x + \cos x - 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений функции косинус $[-1; 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.
$6t^2 + t - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$ и проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$.
Для $t_1 = \frac{4}{3}$: так как $\frac{4}{3} > 1$, уравнение $\cos x = \frac{4}{3}$ не имеет решений.
Для $t_2 = -\frac{3}{2}$: так как $-\frac{3}{2} < -1$, уравнение $\cos x = -\frac{3}{2}$ не имеет решений.

Поскольку ни один из корней квадратного уравнения не входит в область значений функции косинуса, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

2) $8 \cos^2 x - 12 \sin x + 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции.

Подставим это выражение в уравнение:
$8(1 - \sin^2 x) - 12 \sin x + 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим:
$8 - 8 \sin^2 x - 12 \sin x + 7 = 0$
$-8 \sin^2 x - 12 \sin x + 15 = 0$

Умножим уравнение на -1:
$8 \sin^2 x + 12 \sin x - 15 = 0$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \sin x$, где $|y| \le 1$.
$8y^2 + 12y - 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 144 + 480 = 624$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{624} = \sqrt{16 \cdot 39} = 4\sqrt{39}$.

Найдем корни:
$y_1 = \frac{-12 + 4\sqrt{39}}{2 \cdot 8} = \frac{-12 + 4\sqrt{39}}{16} = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$
$y_2 = \frac{-12 - 4\sqrt{39}}{16} = \frac{-3 - \sqrt{39}}{4}$

Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[-1; 1]$.
Для $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$:
Мы знаем, что $6^2=36$ и $7^2=49$, поэтому $6 < \sqrt{39} < 7$.
Тогда $ -3 + 6 < -3 + \sqrt{39} < -3 + 7$, что дает $3 < -3 + \sqrt{39} < 4$.
Разделив на 4, получим $\frac{3}{4} < \frac{-3 + \sqrt{39}}{4} < 1$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Для $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{39}}{4}$:
Поскольку $\sqrt{39} > 6$, то $-3 - \sqrt{39} < -3 - 6 = -9$.
Следовательно, $y_2 < \frac{-9}{4} = -2.25$. Этот корень не принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Таким образом, у нас есть одно возможное значение для $\sin x$:
$\sin x = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Подставляя наше значение, получаем:
$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{-3 + \sqrt{39}}{4}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для более удобной записи можно переписать дробь как $\frac{\sqrt{39}-3}{4}$.
Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{39}-3}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.