Номер 655, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 655, страница 197.

Условие.

655 Вычислить:

1) $2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right);$

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} - 4 \arcsin 1;$

3) $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2};$

4) $\arccos (-1) - \arcsin (-1);$

5) $2 \operatorname{arctg} 1 + 3 \operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right);$

6) $4 \operatorname{arctg} (-1) + 3 \operatorname{arctg} \sqrt{3}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \arcsin (-\frac{1}{2})$

Для вычисления данного выражения найдем значения арксинусов.

По определению, $\arcsin a$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Находим $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$

Находим $\arcsin (-\frac{1}{2})$. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin (-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$. Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{6}$. Значит, $\arcsin (-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем найденные значения в исходное выражение:

$2 \cdot (\frac{\pi}{3}) + 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2\pi \cdot 2}{6} - \frac{\pi \cdot 3}{6} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} - 4 \arcsin 1$

Найдем значения арксинусов в выражении.

Преобразуем $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Находим $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$

Находим $\arcsin 1$. Это угол, синус которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.

$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$

Подставляем значения в выражение:

$\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - 2\pi$

Приводим к общему знаменателю 4:

$\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$

Ответ: $-\frac{7\pi}{4}$.

3) $\arccos (-\frac{1}{2}) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Найдем значения арккосинуса и арксинуса.

По определению, $\arccos a$ — это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. Используем свойство: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2})$. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, — это $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Значение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ (угол из $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$) равно $\frac{\pi}{3}$.

Подставляем найденные значения в выражение:

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

4) $\arccos (-1) - \arcsin (-1)$

Найдем значения арккосинуса и арксинуса.

Находим $\arccos (-1)$. Это угол из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен -1. Этот угол равен $\pi$.

$\arccos(-1) = \pi$

Находим $\arcsin (-1)$. Это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен -1. Этот угол равен $-\frac{\pi}{2}$.

$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$

Подставляем значения в выражение:

$\pi - (-\frac{\pi}{2}) = \pi + \frac{\pi}{2}$

Приводим к общему знаменателю 2:

$\frac{2\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

5) $2 \arctan 1 + 3 \arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})$

Найдем значения арктангенсов.

По определению, $\arctan a$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.

Находим $\arctan 1$. Это угол, тангенс которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

$\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

Находим $\arctan (-\frac{1}{\sqrt{3}})$. Используем свойство нечетности арктангенса: $\arctan(-x) = -\arctan(x)$.

$\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$. Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, — это $\frac{\pi}{6}$.

Следовательно, $\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в выражение:

$2 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$

Ответ: $0$.

6) $4 \arctan (-1) + 3 \arctan \sqrt{3}$

Найдем значения арктангенсов.

Находим $\arctan (-1)$. Используя свойство нечетности, $\arctan(-1) = -\arctan(1)$. Угол, тангенс которого равен 1, — это $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Находим $\arctan \sqrt{3}$. Это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

$\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$

Подставляем значения в выражение:

$4 \cdot (-\frac{\pi}{4}) + 3 \cdot \frac{\pi}{3} = - \pi + \pi = 0$

Ответ: $0$.