Номер 656, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения к главе 6. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 656, страница 197.

Решить уравнение (656—665).

656 1) $\cos (4 - 2x) = -\frac{1}{2};$

2) $\cos (6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $\sqrt{2} \cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0;$

4) $2 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) - \sqrt{3} = 0.$

1) $\cos(4 - 2x) = -\frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$.
Воспользуемся свойством четности косинуса: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Тогда $\cos(4 - 2x) = \cos(2x - 4)$.
Уравнение принимает вид: $\cos(2x - 4) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение для уравнения $\cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 2x - 4$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем в формулу общего решения:
$2x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Теперь выразим $x$:
$2x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Разделим обе части на 2:
$x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение вида $\cos(t) = a$, где $t = 6 + 3x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Общее решение: $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем арккосинус: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем в формулу:
$6 + 3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Выразим $x$:
$3x = -6 \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Разделим обе части на 3:
$x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + 1 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\cos(\cdot)$.
$\sqrt{2} \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$
$\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Рационализируем знаменатель: $\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Применяем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $t = 2x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Мы уже знаем, что $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$.
$2x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
Рассмотрим два случая:
1) $2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$
2) $2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = -\pi + 2\pi n$
$x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $2 \cos(\frac{\pi}{3} - 3x) - \sqrt{3} = 0$

Преобразуем уравнение:
$2 \cos(\frac{\pi}{3} - 3x) = \sqrt{3}$
$\cos(\frac{\pi}{3} - 3x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем свойство четности косинуса: $\cos(\frac{\pi}{3} - 3x) = \cos(3x - \frac{\pi}{3})$.
$\cos(3x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Применяем общую формулу решения $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $t = 3x - \frac{\pi}{3}$ и $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Найдем арккосинус: $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
$3x - \frac{\pi}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
Рассмотрим два случая:
1) $3x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n$
$3x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$
2) $3x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$3x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$3x = \frac{-\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.