Номер 657, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 657, страница 197.

Условие.

657 1) $2 \sin \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0;$

2) $1 - \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

3) $3 + 4 \sin (2x + 1) = 0;$

4) $5 \sin (2x - 1) - 2 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$

Перенесем 1 в правую часть и разделим обе части на 2, чтобы выразить синус:
$2 \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$
$\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем значения:
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$3x - \frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 - \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$

Выразим синус:
$\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 1$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство $\sin(t) = 1$ выполняется, когда $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Выразим $x$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = 2 \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\right)$
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 4 \sin(2x + 1) = 0$

Выразим синус:
$4 \sin(2x + 1) = -3$
$\sin(2x + 1) = -\frac{3}{4}$
Используем общую формулу решения $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 2x + 1$ и $a = -\frac{3}{4}$.
Так как $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:
$2x + 1 = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi k$
$2x + 1 = (-1)^k \left(-\arcsin\frac{3}{4}\right) + \pi k$
$2x + 1 = (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$
Выразим $x$:
$2x = -1 + (-1)^{k+1} \arcsin\frac{3}{4} + \pi k$
$x = -\frac{1}{2} + (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{1}{2} + \frac{(-1)^{k+1}}{2} \arcsin\frac{3}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $5 \sin(2x - 1) - 2 = 0$

Выразим синус:
$5 \sin(2x - 1) = 2$
$\sin(2x - 1) = \frac{2}{5}$
Используем общую формулу решения $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Здесь $t = 2x - 1$ и $a = \frac{2}{5}$.
$2x - 1 = (-1)^k \arcsin\frac{2}{5} + \pi k$
Выразим $x$:
$2x = 1 + (-1)^k \arcsin\frac{2}{5} + \pi k$
$x = \frac{1}{2} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\frac{2}{5} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.