Номер 650, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств - номер 650, страница 196.

Условие.

650 1) $ \sin x > \frac{1}{2} $;

2) $ \sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ \sin x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

4) $ \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $ \sin x > \frac{1}{2} $.
Для начала найдем значения $x$, для которых $ \sin x = \frac{1}{2} $. Используя единичную окружность, мы знаем, что это происходит при углах $ x_1 = \frac{\pi}{6} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.
Нам нужны значения $x$, при которых синус (то есть ордината точки на единичной окружности) строго больше $ \frac{1}{2} $. Это соответствует дуге окружности, расположенной выше горизонтальной прямой $ y = \frac{1}{2} $. Двигаясь по окружности против часовой стрелки, мы видим, что это интервал от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{5\pi}{6} $.
Так как функция синуса периодична с периодом $2\pi$, мы должны добавить $2\pi k$ к границам интервала, чтобы учесть все решения.
Ответ: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Сначала найдем решения уравнения $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это $ x_1 = \frac{\pi}{4} $ и $ x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.
Нам нужны значения $x$, при которых синус меньше или равен $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует точкам, ордината которых не превышает $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это большая дуга окружности, которая начинается от точки $ \frac{3\pi}{4} $, проходит через нижнюю часть окружности и заканчивается в точке $ \frac{\pi}{4} $ следующего оборота.
Этот интервал можно записать как $ [ \frac{3\pi}{4}, 2\pi + \frac{\pi}{4} ] $, что равно $ [ \frac{3\pi}{4}, \frac{9\pi}{4} ] $. Другой, более удобный способ записи — использовать отрицательные углы. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ можно представить как $ \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4} $. Тогда интервал решений будет от $ -\frac{5\pi}{4} $ до $ \frac{\pi}{4} $.
Добавляя период $2\pi k$, получаем общее решение.
Ответ: $ -\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Найдем корни уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Главное значение $ x = \arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4} $. Второй корень на окружности — это $ x = \pi - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{5\pi}{4} $. Углы $ \frac{5\pi}{4} $ и $ -\frac{3\pi}{4} $ соответствуют одной и той же точке на окружности.
Нам нужны значения $x$, при которых синус меньше или равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. На единичной окружности это соответствует дуге, расположенной ниже прямой $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Эта дуга заключена между точками $ -\frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $.
Таким образом, решение для одного периода: $ -\frac{3\pi}{4} \le x \le -\frac{\pi}{4} $.
Учитывая периодичность, получаем общее решение.
Ответ: $ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $.
Сначала найдем решения уравнения $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это $ x_1 = \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3} $ и $ x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3} $.
Нам нужны значения $x$, при которых синус строго больше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. На единичной окружности это соответствует точкам, ордината которых больше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Это большая дуга окружности, расположенная выше прямой $ y = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, мы начинаем с точки $ -\frac{\pi}{3} $ и заканчиваем в точке $ \frac{4\pi}{3} $.
Интервал решений для одного периода: $ -\frac{\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3} $.
Добавляя период $2\pi k$ к границам, получаем общее решение.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.