Номер 643, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 643, страница 193.

Условие.

643 1) $\sqrt{5\cos x - \cos 2x} = -2\sin x;$

2) $\sqrt{\cos x + \cos 3x} = -\sqrt{2}\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $ \sqrt{5\cos x - \cos 2x} = -2\sin x $.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 5\cos x - \cos 2x = (-2\sin x)^2 \\ -2\sin x \ge 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы следует, что $ \sin x \le 0 $. Это означает, что $ x $ принадлежит III или IV четверти, то есть $ x \in [-\pi + 2\pi k, 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Теперь решим первое уравнение системы. Преобразуем его, используя тригонометрические формулы $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ и $ \sin^2 x = 1 - \cos^2 x $.

$ 5\cos x - (2\cos^2 x - 1) = 4\sin^2 x $

$ 5\cos x - 2\cos^2 x + 1 = 4(1 - \cos^2 x) $

$ 5\cos x - 2\cos^2 x + 1 = 4 - 4\cos^2 x $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ (4\cos^2 x - 2\cos^2 x) + 5\cos x + (1 - 4) = 0 $

$ 2\cos^2 x + 5\cos x - 3 = 0 $

Сделаем замену $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

$ 2t^2 + 5t - 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.

$ t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $

$ t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Корень $ t_1 = -3 $ не удовлетворяет условию $ -1 \le t \le 1 $, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с $ t_2 = 1/2 $:

$ \cos x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения: $ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Теперь необходимо отобрать корни, удовлетворяющие условию $ \sin x \le 0 $.

Рассмотрим две серии решений:

а) $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Для этих значений $ \sin x = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 $. Эти корни не удовлетворяют условию $ \sin x \le 0 $.

б) $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Для этих значений $ \sin x = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 $. Эти корни удовлетворяют условию.

Проверим также выполнение условия неотрицательности подкоренного выражения $ 5\cos x - \cos 2x \ge 0 $.
Для найденной серии корней $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $ имеем $ \cos x = 1/2 $ и $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2(1/2)^2 - 1 = -1/2 $.
$ 5(1/2) - (-1/2) = 5/2 + 1/2 = 3 \ge 0 $. Условие выполняется.

Таким образом, решением исходного уравнения является серия корней $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.

---

2) Решим уравнение $ \sqrt{\cos x + \cos 3x} = -\sqrt{2}\cos x $.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x + \cos 3x = (-\sqrt{2}\cos x)^2 \\ -\sqrt{2}\cos x \ge 0 \end{cases} $

Из второго неравенства системы следует, что $ \cos x \le 0 $. Это означает, что $ x $ принадлежит II или III четверти, то есть $ x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k] $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Преобразуем первое уравнение системы. Используем формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $.

$ \cos x + \cos 3x = 2\cos\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 2\cos(2x)\cos(-x) = 2\cos(2x)\cos x $.

Уравнение принимает вид:

$ 2\cos(2x)\cos x = 2\cos^2 x $

Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$ 2\cos(2x)\cos x - 2\cos^2 x = 0 $

$ 2\cos x (\cos 2x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos x = 0 $

б) $ \cos 2x - \cos x = 0 \implies \cos 2x = \cos x $

Рассмотрим каждый случай отдельно, учитывая условие $ \cos x \le 0 $.

Случай а: $ \cos x = 0 $.

Это значение удовлетворяет условию $ \cos x \le 0 $.
Проверим выполнение условия неотрицательности подкоренного выражения: $ \cos x + \cos 3x \ge 0 $.
При $ \cos x = 0 $, $ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x = 4(0)^3 - 3(0) = 0 $.
Тогда $ \cos x + \cos 3x = 0 + 0 = 0 \ge 0 $. Условие выполняется.
Следовательно, решения уравнения $ \cos x = 0 $ являются решениями исходного уравнения. $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Случай б: $ \cos 2x = \cos x $.

Это равенство возможно, если:

1) $ 2x = x + 2\pi m \implies x = 2\pi m $, $ m \in \mathbb{Z} $.

Для этих значений $ \cos x = \cos(2\pi m) = 1 $. Это не удовлетворяет условию $ \cos x \le 0 $. Эти корни являются посторонними.

2) $ 2x = -x + 2\pi m \implies 3x = 2\pi m \implies x = \frac{2\pi m}{3} $, $ m \in \mathbb{Z} $.

Отберем те корни, для которых $ \cos x \le 0 $.

$ \cos(\frac{2\pi m}{3}) \le 0 $.

При $ m = 3j $ ($ m $ кратно 3), $ x = 2\pi j $, $ \cos x = 1 > 0 $. Не подходят.

При $ m = 3j+1 $, $ x = \frac{2\pi(3j+1)}{3} = 2\pi j + \frac{2\pi}{3} $. Тогда $ \cos x = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \le 0 $. Подходят.

При $ m = 3j+2 $, $ x = \frac{2\pi(3j+2)}{3} = 2\pi j + \frac{4\pi}{3} = 2\pi (j+1) - \frac{2\pi}{3} $. Тогда $ \cos x = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \le 0 $. Подходят.

Объединяя эти две серии, получаем $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi j $, $ j \in \mathbb{Z} $.
Проверим для них условие $ \cos x + \cos 3x \ge 0 $.
При $ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi j $ имеем $ \cos x = -1/2 $.
$ \cos 3x = \cos(3(\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi j)) = \cos(\pm 2\pi + 6\pi j) = \cos(\pm 2\pi) = 1 $.

$ \cos x + \cos 3x = -1/2 + 1 = 1/2 \ge 0 $. Условие выполняется.

Итак, объединяем все найденные решения из случаев а) и б).

Ответ: $ \frac{\pi}{2} + \pi n, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m $, где $ n, m \in \mathbb{Z} $.