Номер 637, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 637, страница 193.

Условие.

637 1) $4 \sin 3x + \sin 5x - 2 \sin x \cos 2x = 0;$

2) $6 \cos 2x \sin x + 7 \sin 2x = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $4 \sin 3x + \sin 5x - 2 \sin x \cos 2x = 0$

Воспользуемся формулой произведения синуса на косинус: $2 \sin \alpha \cos \beta = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)$.

Применим ее к члену $- 2 \sin x \cos 2x$. Здесь $\alpha = x$, $\beta = 2x$.

$2 \sin x \cos 2x = \sin(x + 2x) + \sin(x - 2x) = \sin(3x) + \sin(-x) = \sin(3x) - \sin(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4 \sin 3x + \sin 5x - (\sin 3x - \sin x) = 0$

$4 \sin 3x + \sin 5x - \sin 3x + \sin x = 0$

Приведем подобные члены:

$3 \sin 3x + \sin 5x + \sin x = 0$

Теперь воспользуемся формулой суммы синусов для выражения $\sin 5x + \sin x$: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\sin 5x + \sin x = 2 \sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2 \sin 3x \cos 2x$.

Подставим это обратно в уравнение:

$3 \sin 3x + 2 \sin 3x \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x (3 + 2 \cos 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\sin 3x = 0$

$3x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $3 + 2 \cos 2x = 0$

$2 \cos 2x = -3$

$\cos 2x = -\frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинуса $[-1, 1]$, а $-\frac{3}{2} < -1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $\frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $6 \cos 2x \sin x + 7 \sin 2x = 0$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$6 \cos 2x \sin x + 7 (2 \sin x \cos x) = 0$

$6 \cos 2x \sin x + 14 \sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2 \sin x$ за скобки:

$2 \sin x (3 \cos 2x + 7 \cos x) = 0$

Рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

а) $2 \sin x = 0$

$\sin x = 0$

$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

б) $3 \cos 2x + 7 \cos x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$.

$3(2 \cos^2 x - 1) + 7 \cos x = 0$

$6 \cos^2 x - 3 + 7 \cos x = 0$

$6 \cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$6t^2 + 7t - 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Вернемся к замене:

$\cos x = -\frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{3}{2} < -1$.

$\cos x = \frac{1}{3}$. Это уравнение имеет решения:

$x = \pm\arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединим все найденные решения.

Ответ: $k\pi, k \in \mathbb{Z}; \pm\arccos\frac{1}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.