Номер 633, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 633, страница 193.

Условие.

633 1) $4 \sin x \cos x \cos 2x = \sin^2 4x$;

2) $1 + \cos^2 x = \sin^4 x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ дважды.
Сначала сгруппируем множители: $4 \sin x \cos x \cos 2x = 2 \cdot (2 \sin x \cos x) \cdot \cos 2x$.
Применяем формулу для $2 \sin x \cos x$: $2 \sin 2x \cos 2x$.
Теперь применяем формулу еще раз для $2 \sin 2x \cos 2x$: $\sin(2 \cdot 2x) = \sin 4x$.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
$\sin 4x = \sin^2 4x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\sin^2 4x - \sin 4x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:
$\sin 4x (\sin 4x - 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\sin 4x = 0$
$4x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{k\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$
2) $\sin 4x - 1 = 0 \implies \sin 4x = 1$
$4x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{k\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Преобразуем правую часть уравнения: $\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$1 + \cos^2 x = (1 - \cos^2 x)^2$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos^2 x$. Тогда уравнение примет вид:
$1 + y = (1 - y)^2$
Раскроем скобки в правой части:
$1 + y = 1 - 2y + y^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 - 3y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y - 3) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y = 0$ или $y = 3$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$.
Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos^2 x = 3$.
Это уравнение не имеет действительных решений, так как область значений функции $\cos x$ находится в промежутке $[-1, 1]$, и, следовательно, $\cos^2 x$ не может быть больше 1.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является решение из первого случая.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.