Номер 635, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 635, страница 193.

Условие.

635 1) $ \cos x \cos 2x = \sin x \sin 2x; $

2) $ \sin 2x \cos x = \cos 2x \sin x; $

3) $ \sin 3x = \sin 2x \cos x; $

4) $ \cos 5x \cos x = \cos 4x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos x \cos 2x = \sin x \sin 2x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x = 0$
Это выражение соответствует формуле косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = 2x$.
Применим формулу:
$\cos(x + 2x) = 0$
$\cos(3x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 3:
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x \cos x = \cos 2x \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$\sin 2x \cos x - \cos 2x \sin x = 0$
Это выражение соответствует формуле синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. В данном случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.
Применим формулу:
$\sin(2x - x) = 0$
$\sin x = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 3x = \sin 2x \cos x$

Применим формулу синуса суммы для левой части уравнения: $\sin(3x) = \sin(2x+x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x = \sin 2x \cos x$
Вычтем из обеих частей $\sin 2x \cos x$:
$\cos 2x \sin x = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:
1. $\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Обе серии решений являются ответом.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos 5x \cos x = \cos 4x$

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = x$.
$\frac{1}{2}(\cos(5x - x) + \cos(5x + x)) = \cos 4x$
$\frac{1}{2}(\cos 4x + \cos 6x) = \cos 4x$
Умножим обе части на 2:
$\cos 4x + \cos 6x = 2 \cos 4x$
Перенесем все члены в одну сторону:
$\cos 6x - \cos 4x = 0$
Применим формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \sin\frac{\alpha - \beta}{2}$.
$-2 \sin\frac{6x + 4x}{2} \sin\frac{6x - 4x}{2} = 0$
$-2 \sin(5x) \sin(x) = 0$
$\sin(5x) \sin(x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $\sin 5x = 0$
$5x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = 0$
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что вторая серия решений ($x = \pi k$) является подмножеством первой серии ($x = \frac{\pi n}{5}$). Если в первой формуле взять $n=5k$, то получим $x = \frac{\pi (5k)}{5} = \pi k$. Поэтому достаточно указать только первую, более общую, серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.