Номер 641, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 641, страница 193.

Условие.

641 1) $\frac{\cos 2x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos 2x} = 1;$

2) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\frac{\cos 2x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos 2x} = 1$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\cos 2x \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$

Введем замену. Пусть $y = \frac{\cos 2x}{\cos x}$. Тогда уравнение примет вид:

$y + \frac{1}{y} = 1$

Умножим обе части уравнения на $y$ (при условии, что $y \neq 0$, что выполняется, так как $\cos 2x \neq 0$ по ОДЗ):

$y^2 + 1 = y$

$y^2 - y + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней для $y$. Следовательно, исходное тригонометрическое уравнение также не имеет решений.

Ответ: решений нет (пустое множество).

2) Решим уравнение $\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:

$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Введем замену. Пусть $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, чтобы выразить правую часть исходного уравнения через $y$:

$y^2 = \left(\sin x + \frac{1}{\sin x}\right)^2 = \sin^2 x + 2 \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \sin^2 x + 2 + \frac{1}{\sin^2 x}$

Отсюда выразим $\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}$:

$\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} = y^2 - 2$

Подставим замену в исходное уравнение:

$y = y^2 - 2$

Получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим его. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных корней.

Случай 1: $y = 2$

$\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$

Умножим на $\sin x$ (не равный нулю по ОДЗ):

$\sin^2 x + 1 = 2\sin x$

$\sin^2 x - 2\sin x + 1 = 0$

$(\sin x - 1)^2 = 0$

$\sin x = 1$

Это значение удовлетворяет ОДЗ. Решения этого уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $y = -1$

$\sin x + \frac{1}{\sin x} = -1$

Умножим на $\sin x$:

$\sin^2 x + 1 = -\sin x$

$\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $\sin x$. Найдем дискриминант:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных решений для $\sin x$. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственной серией решений является та, что получена в первом случае.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.