Номер 640, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 640, страница 193.

Условие.

640 1) $\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x + \cos^2 4x;$

2) $\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $cos^2 x + cos^2 2x = cos^2 3x + cos^2 4x$.

Для решения применим формулу понижения степени $cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$. Подставим ее для каждого члена уравнения:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(6x)}{2} + \frac{1 + \cos(8x)}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей:

$1 + \cos(2x) + 1 + \cos(4x) = 1 + \cos(6x) + 1 + \cos(8x)$

$2 + \cos(2x) + \cos(4x) = 2 + \cos(6x) + \cos(8x)$

$\cos(2x) + \cos(4x) = \cos(6x) + \cos(8x)$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их:

$(\cos(4x) - \cos(8x)) + (\cos(2x) - \cos(6x)) = 0$

Воспользуемся формулой разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

$-2\sin\frac{4x+8x}{2}\sin\frac{4x-8x}{2} - 2\sin\frac{2x+6x}{2}\sin\frac{2x-6x}{2} = 0$

$-2\sin(6x)\sin(-2x) - 2\sin(4x)\sin(-2x) = 0$

Так как $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$, получаем:

$2\sin(6x)\sin(2x) + 2\sin(4x)\sin(2x) = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin(2x)$ за скобки:

$2\sin(2x)(\sin(6x) + \sin(4x)) = 0$

Теперь применим формулу суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ к выражению в скобках:

$2\sin(2x)(2\sin\frac{6x+4x}{2}\cos\frac{6x-4x}{2}) = 0$

$4\sin(2x)\sin(5x)\cos(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем три случая:

1. $\sin(2x) = 0 \implies 2x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin(5x) = 0 \implies 5x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$

3. $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Заметим, что серия решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$ является подмножеством серии $x = \frac{\pi k}{2}$ (при нечетных $k$, т.е. $k=2m+1$). Таким образом, совокупность решений можно записать в виде двух серий.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi n}{5}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\sin^6 x + \cos^6 x = \frac{1}{4}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Пусть $a = \sin^2 x$ и $b = \cos^2 x$.

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2)$

Так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, выражение упрощается до:

$\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x$

Дополним выражение до полного квадрата суммы:

$(\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) - 3\sin^2 x \cos^2 x$

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$. Тогда $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Подставим это в преобразованное выражение:

$1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

Теперь наше исходное уравнение принимает вид:

$1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) = \frac{1}{4}$

Решим это уравнение относительно $\sin^2(2x)$:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

$\frac{3}{4} = \frac{3}{4}\sin^2(2x)$

$\sin^2(2x) = 1$

Это уравнение равносильно тому, что $\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x) = 0$, откуда $\cos(2x) = 0$.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.