Номер 639, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 639, страница 193.

Условие.

639 1) $ \sin x \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x; $

2) $ \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin x \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x$
Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ для $\sin 4x$:
$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\sin x \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{4} (2 \sin 2x \cos 2x)$
$\sin x \sin 2x \sin 3x = \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x$.
Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:
$\sin x \sin 2x \sin 3x - \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x = 0$
$\sin 2x (\sin x \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 2x) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sin 2x = 0$.
$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\sin x \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 2x = 0$.
Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\sin 3x \sin x = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) - \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x)$.
Подставим это в уравнение второго случая:
$\frac{1}{2}(\cos 2x - \cos 4x) - \frac{1}{2} \cos 2x = 0$
$\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{1}{2}\cos 4x - \frac{1}{2}\cos 2x = 0$
$-\frac{1}{2}\cos 4x = 0$
$\cos 4x = 0$.
Решаем это уравнение:
$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Эти решения не пересекаются с решениями из первого случая, так как для них $\sin(2x) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}) \neq 0$.

Объединив решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$
Преобразуем левую часть уравнения. Для этого воспользуемся формулой $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ для $a=\sin^2 x$ и $b=\cos^2 x$:
$\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, получим:
$1 - 2 (\sin x \cos x)^2 = 1 - 2 \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)^2 = 1 - 2 \frac{\sin^2 2x}{4} = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin^2 2x$.
Перенесем слагаемое с синусом в правую часть:
$1 = \frac{1}{2} \sin^2 2x + \frac{1}{2} \sin^2 2x$
$1 = \sin^2 2x$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin 2x = 1$ или $\sin 2x = -1$.
Решения этих уравнений можно объединить в одну серию. Уравнение $\sin^2 2x = 1$ равносильно $\cos^2 2x = 1 - \sin^2 2x = 0$, откуда $\cos 2x = 0$.
Решаем уравнение $\cos 2x = 0$:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.