Номер 646, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 36. Решение тригонометрических уравнений. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 646, страница 193.

646 Найти все значения $a$, при которых уравнение

$4 \sin^2 x + 2 (a - 3) \cos x + 3a - 4 = 0$

имеет корни, и решить это уравнение.

Исходное уравнение:$4 \sin^2 x + 2(a - 3) \cos x + 3a - 4 = 0$

Для того чтобы свести уравнение к одному тригонометрическому выражению, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.Подставим это в уравнение:$4 (1 - \cos^2 x) + 2(a - 3) \cos x + 3a - 4 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:$4 - 4 \cos^2 x + 2(a - 3) \cos x + 3a - 4 = 0$$-4 \cos^2 x + 2(a - 3) \cos x + 3a = 0$

Умножим обе части уравнения на -1:$4 \cos^2 x - 2(a - 3) \cos x - 3a = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:$4t^2 - 2(a - 3)t - 3a = 0$

Исходное тригонометрическое уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t$, удовлетворяющий условию $t \in [-1, 1]$.

Найти все значения a, при которых уравнение имеет корни

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта.$D = ( -2(a - 3) )^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3a) = 4(a - 3)^2 + 48a$$D = 4(a^2 - 6a + 9) + 48a = 4a^2 - 24a + 36 + 48a = 4a^2 + 24a + 36$$D = 4(a^2 + 6a + 9) = 4(a + 3)^2$

Дискриминант является полным квадратом, $D = (2(a+3))^2 \ge 0$ при любых действительных $a$. Следовательно, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.Найдем эти корни:$t = \frac{2(a - 3) \pm \sqrt{4(a + 3)^2}}{2 \cdot 4} = \frac{2(a - 3) \pm 2|a + 3|}{8} = \frac{a - 3 \pm |a + 3|}{4}$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

• Если $a + 3 \ge 0$ (т.е. $a \ge -3$), то $|a + 3| = a + 3$. Корни: $t_1 = \frac{a - 3 + (a + 3)}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$ и $t_2 = \frac{a - 3 - (a + 3)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
• Если $a + 3 < 0$ (т.е. $a < -3$), то $|a + 3| = -(a + 3)$. Корни: $t_1 = \frac{a - 3 - (a + 3)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $t_2 = \frac{a - 3 + (-(a+3))}{4} = \frac{a - 3 - a - 3}{4} = \frac{-6}{4}$. Ой, в последнем вычислении была ошибка. Правильно: $t_2=\frac{a-3-(-(a+3))}{4}=\frac{a-3+a+3}{4}=\frac{2a}{4}=\frac{a}{2}$.

Таким образом, при любом значении $a$ корнями квадратного уравнения для $t$ являются $\frac{a}{2}$ и $-\frac{3}{2}$.

Вернемся к замене $t = \cos x$. Исходное уравнение имеет корни, если хотя бы один из найденных корней $t$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.Корень $t = -\frac{3}{2} = -1.5$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, так как $-1.5 < -1$. Следовательно, уравнение $\cos x = -\frac{3}{2}$ решений не имеет.

Значит, исходное уравнение будет иметь корни только в том случае, если второй корень $t = \frac{a}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$:$-1 \le \frac{a}{2} \le 1$Умножив все части неравенства на 2, получаем:$-2 \le a \le 2$

Ответ: уравнение имеет корни при $a \in [-2, 2]$.

Решить это уравнение

При найденных значениях $a \in [-2, 2]$ уравнение сводится к единственному возможному для $\cos x$ значению $t = \frac{a}{2}$. То есть, мы решаем уравнение:$\cos x = \frac{a}{2}$

Решения этого уравнения для переменной $x$ имеют вид:$x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: при $a \in [-2, 2]$ решения уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{a}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.