Номер 645, страница 193 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 645, страница 193.

Условие.

645 Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} \cos(x+y)=0, \\ \cos(x-y)=1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x - \sin y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \cos(x+y) = 0 \\ \cos(x-y) = 1\end{cases}$$

Из первого уравнения $\cos(x+y) = 0$ следует, что его аргумент является частным случаем решения тригонометрического уравнения $\cos(a)=0$, то есть $a = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

$x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения $\cos(x-y) = 1$ следует, что его аргумент является частным случаем решения уравнения $\cos(b)=1$, то есть $b = 2\pi k$.

$x-y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Мы получили систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x-y = 2\pi k\end{cases}$$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $x$:

$(x+y) + (x-y) = (\frac{\pi}{2} + \pi n) + (2\pi k)$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$(x+y) - (x-y) = (\frac{\pi}{2} + \pi n) - (2\pi k)$

$2y = \frac{\pi}{2} + \pi n - 2\pi k$

$y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + \pi k; \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x - \sin y = 1 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1\end{cases}$$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$:

$\sin^2 x + (1 - \sin^2 y) = 1$

$\sin^2 x - \sin^2 y = 0$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:

$$\begin{cases} \sin x - \sin y = 1 \\ \sin^2 x - \sin^2 y = 0\end{cases}$$

Разложим второе уравнение на множители по формуле разности квадратов:

$(\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y) = 0$

Из первого уравнения системы известно, что $\sin x - \sin y = 1$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$1 \cdot (\sin x + \sin y) = 0$

$\sin x + \sin y = 0$

Теперь мы имеем новую, более простую систему для нахождения $\sin x$ и $\sin y$:

$$\begin{cases} \sin x - \sin y = 1 \\ \sin x + \sin y = 0\end{cases}$$

Сложим эти два уравнения:

$(\sin x - \sin y) + (\sin x + \sin y) = 1 + 0$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение $\sin x$ во второе уравнение новой системы:

$\frac{1}{2} + \sin y = 0$

$\sin y = -\frac{1}{2}$

Осталось найти все значения $x$ и $y$, которые удовлетворяют этим простейшим тригонометрическим уравнениям.

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ получаем общее решение для $x$:

$x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin y = -\frac{1}{2}$ получаем общее решение для $y$:

$y = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $y = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.