Номер 649, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 649, страница 196.

649 1) $ \cos x \le \sqrt{3} $;

2) $ \cos x < -2 $;

3) $ \cos x \ge 1 $;

4) $ \cos x \le -1 $.

1) $\cos x \le \sqrt{3}$

Область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство: $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим число $\sqrt{3}$. Поскольку $1^2 = 1$ и $2^2 = 4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Таким образом, число $\sqrt{3}$ больше максимального значения функции косинус ($1 < \sqrt{3}$). Следовательно, неравенство $\cos x \le \sqrt{3}$ будет верным при любом значении $x$, так как $\cos x$ никогда не сможет превысить 1, а значит и $\sqrt{3}$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$ (любое действительное число).

2) $\cos x < -2$

Как уже упоминалось, область значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что наименьшее значение, которое может принимать косинус, равно $-1$.

Неравенство $\cos x < -2$ требует, чтобы значение косинуса было меньше, чем $-2$. Поскольку $\cos x$ не может быть меньше $-1$, то не существует таких значений $x$, для которых это неравенство было бы верным.

Ответ: решений нет (или $x \in \varnothing$).

3) $\cos x \ge 1$

Мы знаем, что область значений функции косинус $[-1, 1]$, то есть $\cos x \le 1$ для любого $x$.

Неравенство $\cos x \ge 1$ состоит из двух случаев: $\cos x > 1$ или $\cos x = 1$.

Случай $\cos x > 1$ невозможен, так как 1 является максимальным значением для косинуса.

Следовательно, данное неравенство равносильно уравнению $\cos x = 1$.

Это уравнение имеет решения, когда угол $x$ соответствует точке $(1, 0)$ на единичной окружности. Это происходит при углах $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ и $-2\pi, -4\pi, \dots$.

Общая формула для таких решений: $x = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\cos x \le -1$

Область значений функции косинус $[-1, 1]$, то есть $\cos x \ge -1$ для любого $x$.

Неравенство $\cos x \le -1$ состоит из двух случаев: $\cos x < -1$ или $\cos x = -1$.

Случай $\cos x < -1$ невозможен, так как $-1$ является минимальным значением для косинуса.

Таким образом, исходное неравенство равносильно уравнению $\cos x = -1$.

Это уравнение имеет решения, когда угол $x$ соответствует точке $(-1, 0)$ на единичной окружности. Это происходит при углах $\pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ и $-\pi, -3\pi, \dots$.

Общая формула для таких решений: $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.