Номер 648, страница 196 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 37. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств - номер 648, страница 196.

Условие.

Решить неравенство (648–654).

648 1) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}; $

2) $ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}; $

3) $ \cos x > - \frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \cos x \le - \frac{\sqrt{2}}{2}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $

Для решения данного тригонометрического неравенства сначала рассмотрим соответствующее уравнение: $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Корни этого уравнения находятся по формуле $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Таким образом, $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Изобразим эти решения на тригонометрической окружности. Это точки, соответствующие углам $ \frac{\pi}{4} $ и $ -\frac{\pi}{4} $. Неравенству $ \cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2} $ соответствуют все точки на окружности, абсцисса (косинус) которых больше или равна $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке $ -\frac{\pi}{4} $ и, при движении против часовой стрелки, заканчивается в точке $ \frac{\pi}{4} $.

Так как неравенство нестрогое, концы дуги включаются в решение. Следовательно, решением является промежуток $ [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $. Учитывая периодичность функции косинуса, период которой равен $ 2\pi $, общее решение неравенства записывается в виде двойного неравенства: $ -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos x < \frac{\sqrt{3}}{2} $

Сначала решим уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Его корни: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $, то есть $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отметим на тригонометрической окружности точки $ \frac{\pi}{6} $ и $ -\frac{\pi}{6} $. Нам необходимо найти все углы $x$, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) строго меньше $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это соответствует точкам на окружности, лежащим левее вертикальной прямой, проходящей через абсциссу $ \frac{\sqrt{3}}{2} $. Эта область представляет собой большую дугу, которая начинается в точке $ \frac{\pi}{6} $ и, при движении против часовой стрелки, заканчивается в точке $ -\frac{\pi}{6} $ (или $ \frac{11\pi}{6} $).

Поскольку неравенство строгое, граничные точки не включаются. Таким образом, искомый интервал $ (\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}) $. Добавляя период $ 2\pi $, получаем общее решение: $ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Корни уравнения: $ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $. Используя формулу $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, получаем $ x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отметим на тригонометрической окружности точки $ \frac{5\pi}{6} $ и $ -\frac{5\pi}{6} $. Неравенству $ \cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2} $ соответствуют точки, абсцисса которых больше $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Эти точки образуют дугу, расположенную правее вертикальной прямой, проходящей через абсциссу $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, мы видим, что дуга начинается в точке $ -\frac{5\pi}{6} $ и заканчивается в точке $ \frac{5\pi}{6} $.

Так как неравенство строгое, граничные точки не включаются. Решением является интервал $ (-\frac{5\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}) $. Общее решение с учетом периодичности: $ -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z} $.

4) $ \cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Решим уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Корни уравнения: $ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k $. $ x = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Отметим на тригонометрической окружности точки $ \frac{3\pi}{4} $ и $ -\frac{3\pi}{4} $. Нам нужны значения $ x $, для которых косинус (абсцисса точки на окружности) меньше или равен $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Это соответствует точкам на дуге окружности, расположенной левее вертикальной прямой, проходящей через абсциссу $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Двигаясь против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $ \frac{3\pi}{4} $ и заканчивается в точке $ -\frac{3\pi}{4} $ (или $ \frac{5\pi}{4} $).

Неравенство нестрогое, поэтому концы дуги включаются. Решением является промежуток $ [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] $. Общее решение с учетом периодичности: $ \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x \in [\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z} $.