Номер 628, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 628, страница 192.

Условие.

628 1) $ (\operatorname{tg} x - \sqrt{3}) (2 \sin \frac{x}{12} + 1) = 0; $

2) $ (1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{4}) (1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x) = 0; $

3) $ (2 \sin (x + \frac{\pi}{6}) - 1) (2 \operatorname{tg} x + 1) = 0; $

4) $ (1 + \sqrt{2} \cos (x + \frac{\pi}{4})) (\operatorname{tg} x - 3) = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\tg x - \sqrt{3})(2 \sin \frac{x}{12} + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом существуют.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется существованием $\tg x$, то есть $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \Z$.

Рассмотрим два случая:
a) $\tg x - \sqrt{3} = 0$
$\tg x = \sqrt{3}$
$x = \arctan(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \Z$
$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(\frac{\pi}{3} + \pi n) \neq 0$.

б) $2 \sin \frac{x}{12} + 1 = 0$
$\sin \frac{x}{12} = -\frac{1}{2}$
$\frac{x}{12} = (-1)^{m} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi m, m \in \Z$
$\frac{x}{12} = (-1)^{m} (-\frac{\pi}{6}) + \pi m, m \in \Z$
$\frac{x}{12} = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \Z$
$x = (-1)^{m+1} 2\pi + 12\pi m, m \in \Z$.
Проверим, удовлетворяют ли эти значения ОДЗ. $\cos((-1)^{m+1} 2\pi + 12\pi m) = \cos(2\pi ((-1)^{m+1} + 6m))$. Так как в аргументе косинуса стоит четное число $\pi$, то значение косинуса равно $1$ или $-1$, но не $0$. Следовательно, все решения удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \Z; x = (-1)^{m+1} 2\pi + 12\pi m, m \in \Z$.

2) $(1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{4})(1 + \sqrt{3} \tg x) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \Z$.

Рассмотрим два случая:
a) $1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0$
$\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{x}{4} = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \Z$
$\frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \Z$
$x = \pm \pi + 8\pi n, n \in \Z$.
Проверим ОДЗ. $\cos(\pm \pi + 8\pi n) = \cos(\pm \pi) = -1 \neq 0$. Решения удовлетворяют ОДЗ.

б) $1 + \sqrt{3} \tg x = 0$
$\tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
$x = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in \Z$
$x = -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(-\frac{\pi}{6} + \pi m) \neq 0$.

Объединяем решения из обоих случаев.
Ответ: $x = \pm \pi + 8\pi n, n \in \Z; x = -\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \Z$.

3) $(2 \sin (x + \frac{\pi}{6}) - 1)(2 \tg x + 1) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \Z$.

Рассмотрим два случая:
a) $2 \sin (x + \frac{\pi}{6}) - 1 = 0$
$\sin (x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \Z$
$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$
$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \Z$.
Разобьем на две серии решений:
- При четном $n=2p$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi p = 2\pi p, p \in \Z$.
- При нечетном $n=2p+1$: $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + \pi(2p+1) = -\frac{\pi}{3} + 2\pi p + \pi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi p, p \in \Z$.
Обе серии решений удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2\pi p) = 1 \neq 0$ и $\cos(\frac{2\pi}{3} + 2\pi p) = -\frac{1}{2} \neq 0$.

б) $2 \tg x + 1 = 0$
$\tg x = -\frac{1}{2}$
$x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi m, m \in \Z$
$x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi m, m \in \Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем все найденные решения.
Ответ: $x = 2\pi n, n \in \Z; x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \Z; x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi m, m \in \Z$.

4) $(1 + \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}))(\tg x - 3) = 0$

ОДЗ: $\cos x \neq 0 \implies x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \Z$.

Рассмотрим два случая:
a) $1 + \sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$x + \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n, n \in \Z$
$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \Z$.
Получаем две серии решений:
- $x_1 = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \Z$.
- $x_2 = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n, n \in \Z$.
Проверим ОДЗ. Для $x_1$: $\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$. Эти значения не входят в ОДЗ, так как при них $\tg x$ не определен. Это посторонние корни.
Для $x_2$: $\cos(-\pi + 2\pi n) = -1 \neq 0$. Эти решения удовлетворяют ОДЗ.

б) $\tg x - 3 = 0$
$\tg x = 3$
$x = \arctan(3) + \pi m, m \in \Z$.
Эти значения удовлетворяют ОДЗ.

Объединяем подходящие решения.
Ответ: $x = -\pi + 2\pi n, n \in \Z; x = \arctan(3) + \pi m, m \in \Z$.