Номер 622, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 622, страница 192.

Условие.

622 1) $\text{tg}^2 x = 2;$

2) $\text{tg} x = \text{ctg} x;$

3) $\text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x - 4 = 0;$

4) $\text{tg}^2 x - \text{tg} x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\tg^2 x = 2$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\tg x = \sqrt{2}$ или $\tg x = -\sqrt{2}$

Решим каждое из них:

Для $\tg x = \sqrt{2}$ решение имеет вид $x = \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $\tg x = -\sqrt{2}$ решение имеет вид $x = \operatorname{arctg}(-\sqrt{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство арктангенса $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$, получаем $x = -\operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi n$.

Объединив обе серии решений, получим:

$x = \pm \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \operatorname{arctg}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\tg x = \operatorname{ctg} x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс не определен при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, а котангенс не определен при $x = \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

Используем тождество $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\tg x}$. Уравнение принимает вид:

$\tg x = \frac{1}{\tg x}$

Умножим обе части на $\tg x$, при условии, что $\tg x \neq 0$ (что выполняется, так как если $\tg x=0$, то $\operatorname{ctg} x$ не определен):

$\tg^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два:

$\tg x = 1$ или $\tg x = -1$

Решениями являются:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну. Углы $\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4} (\text{или } \frac{3\pi}{4}), \frac{5\pi}{4}, \ldots$ повторяются с периодом $\frac{\pi}{2}$.

Общее решение: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tg^2 x - 3 \tg x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\tg x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = \tg x$.

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти дискриминант.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-(-3) + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$y_2 = \frac{-(-3) - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь вернемся к замене:

1) $\tg x = 4 \implies x = \operatorname{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \operatorname{arctg}(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\tg^2 x - \tg x + 1 = 0$

Сделаем замену переменной $y = \tg x$:

$y^2 - y + 1 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, не существует такого действительного значения $\tg x$, которое бы удовлетворяло исходному уравнению.

Ответ: решений нет.