Номер 616, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 616, страница 184.

Условие.

616 Доказать, что $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} \alpha) = \alpha$ при $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Вычислить:

1) $3 \operatorname{arctg} \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}\right);$

2) $4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5);$

3) $\operatorname{arctg} \left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right);$

4) $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство:
По определению арктангенса, $y = \operatorname{arctg}(x)$ — это такое число (угол), что $\operatorname{tg}(y) = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Пусть $y = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha))$.

Согласно определению, это означает, что $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$ и, в то же время, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

В условии задачи дано, что угол $\alpha$ также удовлетворяет неравенству $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция тангенс на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ является строго возрастающей и, следовательно, взаимно однозначной, из равенства $\operatorname{tg}(y) = \operatorname{tg}(\alpha)$ и того факта, что оба угла $y$ и $\alpha$ принадлежат этому интервалу, следует, что $y = \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(\alpha)) = \alpha$ при $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

---

Вычислим:

1) $3 \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right)$

Рассмотрим угол $\alpha = \frac{\pi}{7}$. Необходимо проверить, принадлежит ли он интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Неравенство $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ является верным, так как $-\frac{3.5\pi}{7} < \frac{\pi}{7} < \frac{3.5\pi}{7}$.
Следовательно, можно применить доказанное тождество: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right) = \frac{\pi}{7}$.
Тогда исходное выражение равно $3 \cdot \frac{\pi}{7} = \frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{7}$

2) $4 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5)$

Рассмотрим угол $\alpha = 0,5$ (в радианах). Проверим, принадлежит ли он интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Используя приближенные значения, $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Поскольку $-1,57 < 0,5 < 1,57$, условие выполняется, и мы можем применить тождество: $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5) = 0,5$.
Тогда исходное выражение равно $4 \cdot 0,5 = 2$.

Ответ: $2$

3) $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right)$

Рассмотрим угол $\alpha = \frac{7\pi}{8}$. Проверим, принадлежит ли он интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ можно представить как $(-\frac{4\pi}{8}, \frac{4\pi}{8})$.
Очевидно, что $\frac{7\pi}{8}$ не принадлежит этому интервалу, так как $\frac{7\pi}{8} > \frac{4\pi}{8}$.
Воспользуемся свойством периодичности функции тангенса: $\operatorname{tg}(x) = \operatorname{tg}(x + n\pi)$ для любого целого числа $n$.
Нам нужно найти такой угол $\beta = \frac{7\pi}{8} + n\pi$, чтобы он попал в интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Пусть $n=-1$. Тогда $\beta = \frac{7\pi}{8} - \pi = \frac{7\pi - 8\pi}{8} = -\frac{\pi}{8}$.
Угол $-\frac{\pi}{8}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как $-\frac{4\pi}{8} < -\frac{\pi}{8} < \frac{4\pi}{8}$.
Таким образом, $\operatorname{tg}\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)$, и мы получаем:
$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{\pi}{8}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{8}$

4) $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13)$

Рассмотрим угол $\alpha = 13$ (в радианах). Проверим, принадлежит ли он интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Приближенно $-\frac{\pi}{2} \approx -1,57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$.
Очевидно, что $13$ не принадлежит этому интервалу.
Воспользуемся периодичностью тангенса: $\operatorname{tg}(13) = \operatorname{tg}(13 - n\pi)$. Нам нужно найти такое целое $n$, чтобы угол $\beta = 13 - n\pi$ принадлежал интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$-\frac{\pi}{2} < 13 - n\pi < \frac{\pi}{2}$
$n\pi - \frac{\pi}{2} < 13 < n\pi + \frac{\pi}{2}$
$\frac{13}{\pi} - \frac{1}{2} < n < \frac{13}{\pi} + \frac{1}{2}$
Используя приближенное значение $\pi \approx 3,1416$, получаем $\frac{13}{\pi} \approx 4,138$.
$4,138 - 0,5 < n < 4,138 + 0,5$
$3,638 < n < 4,638$
Единственное целое число $n$ в этом промежутке — это $n=4$.
Значит, искомый угол равен $13 - 4\pi$.
Следовательно, $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg}(13 - 4\pi)) = 13 - 4\pi$.

Ответ: $13 - 4\pi$