Номер 609, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 35. Уравнение tgx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 609, страница 183.

609 Сравнить числа:

1) arctg (-1) и arcsin $ -\\frac{\\sqrt{3}}{2} $;

2) arctg $ \\sqrt{3} $ и arccos $ \\frac{1}{2} $;

3) arctg (-3) и arctg 2;

4) arctg (-5) и arctg 0.

1) Сравним $\text{arctg}(-1)$ и $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Для этого найдем значения каждого из выражений.

По определению арктангенса, $\text{arctg}(-1)$ - это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{4}$. Таким образом, $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арксинуса, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ - это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $-\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Теперь необходимо сравнить два числа: $-\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{3}$. Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$-\frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{12}$

$-\frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{12}$

Так как $-3 > -4$, то $-\frac{3\pi}{12} > -\frac{4\pi}{12}$. Следовательно, $\text{arctg}(-1) > \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: $\text{arctg}(-1) > \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.

2) Сравним $\text{arctg} \sqrt{3}$ и $\arccos \frac{1}{2}$.

Найдем значения этих выражений.

$\text{arctg} \sqrt{3}$ - это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

$\arccos \frac{1}{2}$ - это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол также равен $\frac{\pi}{3}$.

Поскольку оба выражения равны $\frac{\pi}{3}$, то они равны между собой.

Ответ: $\text{arctg} \sqrt{3} = \arccos \frac{1}{2}$.

3) Сравним $\text{arctg}(-3)$ и $\text{arctg} 2$.

Функция $y = \text{arctg}(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Сравним аргументы: $-3$ и $2$.

Поскольку $-3 < 2$, то, согласно свойству возрастания функции арктангенс, $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.

Ответ: $\text{arctg}(-3) < \text{arctg}(2)$.

4) Сравним $\text{arctg}(-5)$ и $\text{arctg} 0$.

Воспользуемся свойством возрастания функции $y = \text{arctg}(x)$, как и в предыдущем пункте.

Сравним аргументы арктангенсов: $-5$ и $0$.

Так как $-5 < 0$, то из свойства возрастания функции арктангенс следует, что $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.

Кроме того, мы можем вычислить, что $\text{arctg}(0) = 0$. Значение $\text{arctg}(-5)$ является отрицательным числом, так как аргумент отрицателен (область значений $\text{arctg}(x)$ для $x<0$ есть $(-\frac{\pi}{2}; 0)$). Любое отрицательное число меньше нуля, поэтому $\text{arctg}(-5) < 0$.

Ответ: $\text{arctg}(-5) < \text{arctg}(0)$.