Номер 603, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 603, страница 179.

Условие.

603 1) $\sin \left(\arcsin \frac{1}{3} + \arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$;

2) $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5} + \arccos \frac{4}{5}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения выражения $ \sin\left(\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) $ введем обозначения.

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{1}{3} $ и $ \beta = \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3} $.

По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{1}{3} $. Так как $ \frac{1}{3} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти, то есть $ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $. Следовательно, $ \cos\alpha > 0 $. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $.

По определению арккосинуса, $ \cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} $. Так как $ \frac{2\sqrt{2}}{3} > 0 $, угол $ \beta $ также лежит в первой четверти: $ \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $.

Мы видим, что $ \cos\alpha = \cos\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} $. Поскольку оба угла находятся в одном и том же промежутке $ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $, где косинус монотонен, мы можем заключить, что $ \alpha = \beta $. Следовательно, исходное выражение можно переписать как $ \sin(\alpha + \alpha) = \sin(2\alpha) $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:

$ \sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin\alpha \cdot \cos\alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{9} $.

2) Для вычисления значения выражения $ \cos\left(\arcsin\frac{3}{5} + \arccos\frac{4}{5}\right) $ введем обозначения.

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{3}{5} $ и $ \beta = \arccos\frac{4}{5} $.

По определению арксинуса, $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $. Так как $ \frac{3}{5} > 0 $, угол $ \alpha $ лежит в первой четверти: $ \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $. Следовательно, $ \cos\alpha > 0 $. Найдем $ \cos\alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $.

По определению арккосинуса, $ \cos\beta = \frac{4}{5} $. Так как $ \frac{4}{5} > 0 $, угол $ \beta $ также лежит в первой четверти: $ \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $.

Мы получили, что $ \cos\alpha = \cos\beta = \frac{4}{5} $. Поскольку оба угла находятся в промежутке $ \left(0, \frac{\pi}{2}\right) $, где косинус монотонен, мы можем заключить, что $ \alpha = \beta $. Таким образом, исходное выражение можно переписать как $ \cos(\alpha + \alpha) = \cos(2\alpha) $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:

$ \cos(2\alpha) = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} $.

Ответ: $ \frac{7}{25} $.