Номер 602, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 602, страница 179.

Условие.

602 1) $ \sin \left( \arccos \frac{2}{3} \right) $;

2) $ \sin \left( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \right) $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы найти значение выражения $ \sin(\arccos\frac{2}{3}) $, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{2}{3} $. По определению арккосинуса, это означает, что $ \cos\alpha = \frac{2}{3} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0; \pi] $.

Нам нужно найти $ \sin\alpha $. Из тождества выразим синус:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим известное значение косинуса:

$ \sin^2\alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9} $

Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $.

Так как $ \alpha $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $, значение синуса для такого угла неотрицательно, то есть $ \sin\alpha \ge 0 $. Поэтому выбираем положительное значение.

$ \sin(\arccos\frac{2}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{5}}{3} $

2)

Чтобы найти значение выражения $ \sin(\arccos(-\frac{1}{2})) $, сначала вычислим внутреннее выражение $ \arccos(-\frac{1}{2}) $.

По определению, $ \arccos(-\frac{1}{2}) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен $ -\frac{1}{2} $.

Мы ищем $ \alpha \in [0; \pi] $ такое, что $ \cos\alpha = -\frac{1}{2} $.

Это табличное значение. Косинус равен $ -\frac{1}{2} $ для угла $ \frac{2\pi}{3} $, и этот угол принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.

Следовательно, $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \sin(\arccos(-\frac{1}{2})) = \sin(\frac{2\pi}{3}) $.

Значение $ \sin(\frac{2\pi}{3}) $ также является табличным.

$ \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{2} $