Номер 604, страница 179 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 34. Уравнение sinx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 604, страница 179.

604 Решить уравнение:

1) $\arcsin \left(\frac{x}{2} - 3\right) = \frac{\pi}{6}$;

2) $\arcsin (3 - 2x) = -\frac{\pi}{4}$.

1) Дано уравнение $\arcsin\left(\frac{x}{2} - 3\right) = \frac{\pi}{6}$.

По определению арксинуса, если $\arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом должно выполняться условие, что значение $b$ находится в диапазоне $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.

В данном случае $b = \frac{\pi}{6}$, что удовлетворяет условию $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{x}{2} - 3 = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$

Мы знаем, что значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ равно $\frac{1}{2}$.

$\frac{x}{2} - 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$\frac{x}{2} = 3 + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

$\frac{x}{2} = \frac{7}{2}$

Умножим обе части на 2:

$x = 7$

Проверим, входит ли аргумент арксинуса в область определения $[-1, 1]$ при $x=7$:

$\frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5$.

Значение $0.5$ находится в интервале $[-1, 1]$, следовательно, решение верно.

Ответ: 7

2) Дано уравнение $\arcsin(3 - 2x) = -\frac{\pi}{4}$.

Аналогично первому пункту, используем определение арксинуса. Значение $-\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, поэтому уравнение имеет решение.

$3 - 2x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Используя свойство нечетности синуса, $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем:

$\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$3 - 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$-2x = -3 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части на -1:

$2x = 3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$2x = \frac{6 + \sqrt{2}}{2}$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{6 + \sqrt{2}}{4}$

Проверим, входит ли аргумент арксинуса в область определения $[-1, 1]$ при найденном $x$:

$3 - 2\left(\frac{6 + \sqrt{2}}{4}\right) = 3 - \frac{6 + \sqrt{2}}{2} = \frac{6}{2} - \frac{6 + \sqrt{2}}{2} = \frac{6 - (6 + \sqrt{2})}{2} = \frac{-\sqrt{2}}{2}$.

Значение $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$ находится в интервале $[-1, 1]$, следовательно, решение верно.

Ответ: $\frac{6 + \sqrt{2}}{4}$