Номер 611, страница 183 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 611, страница 183.

Условие.

611 1) $ \text{tg } 3x = 0 $

2) $ 1 + \text{tg } \frac{x}{3} = 0 $

3) $ \sqrt{3} + \text{tg } \frac{x}{6} = 0 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\text{tg } 3x = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Значение тангенса равно нулю, когда его аргумент является целым кратным $\pi$. Общее решение для уравнения $\text{tg } y = 0$ имеет вид $y = \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае аргумент $y = 3x$. Приравниваем его к общему решению:

$3x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

2) $1 + \text{tg }\frac{x}{3} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить функцию тангенса. Перенесем 1 в правую часть:

$\text{tg }\frac{x}{3} = -1$

Общее решение уравнения $\text{tg } y = a$ записывается формулой $y = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем уравнении $y = \frac{x}{3}$ и $a = -1$.

Находим арктангенс: $\text{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем это значение в общую формулу решения:

$\frac{x}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Для нахождения $x$ умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3 \cdot \left(-\frac{\pi}{4} + \pi k\right)$

$x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{4} + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$

3) $\sqrt{3} + \text{tg }\frac{x}{6} = 0$

Выразим функцию тангенса из данного уравнения:

$\text{tg }\frac{x}{6} = -\sqrt{3}$

Снова используем общую формулу для решения тангенциальных уравнений: $y = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $y = \frac{x}{6}$ и $a = -\sqrt{3}$.

Значение арктангенса: $\text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части на 6:

$x = 6 \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi k\right)$

$x = -\frac{6\pi}{3} + 6\pi k$

$x = -2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$