Номер 618, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 618, страница 184.

Условие.

618 Доказать, что при любом действительном значении $a$ справедливо равенство $\cos(\operatorname{arctg} a) = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного равенства введем замену и воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Пусть $\alpha = \arctan a$.

По определению функции арктангенс, это означает, что $\tan \alpha = a$, причем угол $\alpha$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Нам необходимо доказать, что $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством, которое связывает тангенс и косинус: $1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Подставим в это тождество наше значение $\tan \alpha = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Отсюда выразим $\cos^2 \alpha$: $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + a^2}$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $\cos \alpha$: $\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Чтобы определить правильный знак, обратимся к области значений арктангенса. Угол $\alpha = \arctan a$ лежит в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, что соответствует первой и четвертой координатным четвертям. В этих четвертях значение косинуса всегда неотрицательно ($\cos \alpha \ge 0$). Поскольку знаменатель $\sqrt{1+a^2}$ всегда строго положителен, то $\cos \alpha$ должен быть положительным.

Следовательно, мы должны выбрать знак «+»: $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Произведя обратную замену $\alpha = \arctan a$, мы получаем исходное равенство: $\cos(\arctan a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Равенство доказано для любого действительного значения $a$.

Ответ: Что и требовалось доказать.