Номер 620, страница 192 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 36. Решение тригонометрических уравнений - номер 620, страница 192.

Условие.

Решить уравнение (620—644).

620

1) $\sin^2 x = \frac{1}{4}$;

2) $\cos^2 x = \frac{1}{2}$;

3) $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$;

4) $2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $sin^2 x = \frac{1}{4}$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$sin x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$

$sin x = \pm\frac{1}{2}$

Это равносильно совокупности двух уравнений:

а) $sin x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin x = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму. На единичной окружности это точки $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$. Их можно описать формулой $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi m$. Однако, чтобы избежать путаницы, можно использовать формулу, вытекающую из $sin^2 x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$.

$\frac{1-\cos(2x)}{2} = \frac{1}{4} \implies 1-\cos(2x) = \frac{1}{2} \implies \cos(2x) = \frac{1}{2}$.

$2x = \pm\arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi m = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi m$.

$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Воспользуемся формулой понижения степени: $cos^2 x = \frac{1 + cos(2x)}{2}$.

Подставим ее в уравнение:

$\frac{1 + cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$

Умножим обе части на 2:

$1 + cos(2x) = 1$

$cos(2x) = 0$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Данное уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ является квадратным относительно $\sin x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, при этом $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + t - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Оба корня $t_1 = \frac{1}{2}$ и $t_2 = -1$ удовлетворяют условию $-1 \le t \le 1$.

Вернемся к исходной переменной:

а) $\sin x = \frac{1}{2}$

Решения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x = -1$

Это частный случай. Решения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Данное уравнение $2\cos^2 x + \cos x - 6 = 0$ является квадратным относительно $\cos x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом $-1 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + t - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$.

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

Вернемся к исходной переменной $t = \cos x$.

а) $\cos x = 1.5$

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $1.5 > 1$, то это уравнение не имеет решений.

б) $\cos x = -2$

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-2 < -1$, то это уравнение также не имеет решений.

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.