Номер 614, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 614, страница 184.

Условие.

614 Решить уравнение:

1) $\text{arctg} (5x - 1) = \frac{\pi}{4}$;

2) $\text{arctg} (3 - 5x) = -\frac{\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение: $arctg(5x - 1) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a) = b$, то это эквивалентно тому, что $tg(b) = a$, при условии, что $b$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Значение $\frac{\pi}{4}$ входит в этот интервал. Следовательно, мы можем взять тангенс от обеих частей уравнения:

$tg(arctg(5x - 1)) = tg(\frac{\pi}{4})$

Используя основное тригонометрическое тождество $tg(arctg(y)) = y$, левая часть уравнения упрощается до $5x - 1$.

Значение тангенса от $\frac{\pi}{4}$ является табличным и равно 1, то есть $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Получаем следующее линейное уравнение:

$5x - 1 = 1$

Прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$5x = 1 + 1$

$5x = 2$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{5}$

Ответ: $x = \frac{2}{5}$.

2) Дано уравнение: $arctg(3 - 5x) = -\frac{\pi}{3}$.

Аналогично первому пункту, воспользуемся определением арктангенса. Значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арктангенса $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, поэтому решение существует.

Возьмем тангенс от обеих частей уравнения:

$tg(arctg(3 - 5x)) = tg(-\frac{\pi}{3})$

Левая часть упрощается до $3 - 5x$.

Тангенс — это нечетная функция, поэтому $tg(-a) = -tg(a)$. Следовательно:

$tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3})$

Табличное значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$. Таким образом, $tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Подставляем это значение в наше уравнение:

$3 - 5x = -\sqrt{3}$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Вычтем 3 из обеих частей:

$-5x = -3 - \sqrt{3}$

Умножим обе части уравнения на -1:

$5x = 3 + \sqrt{3}$

Разделим обе части на 5, чтобы выразить $x$:

$x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5}$

Ответ: $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{5}$.