Номер 617, страница 184 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 35. Уравнение tgx=a - номер 617, страница 184.

Условие.

617 Вычислить:

1) $ \operatorname{arctg} \left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6}\right); $

2) $ \operatorname{arctg} \left(\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}\right); $

3) $ \operatorname{arctg} \left(2 \sin \frac{5\pi}{6}\right); $

4) $ \operatorname{arctg} \left(2 \sin \frac{\pi}{3}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Вычислим $arcctg\left(ctg\frac{5\pi}{6}\right)$.

По определению арккотангенса, равенство $arcctg(ctg(x)) = x$ справедливо, если $x$ принадлежит области значений функции арккотангенс, то есть $x \in (0; \pi)$.

Проверим, выполняется ли это условие для угла $\frac{5\pi}{6}$.

Так как $0 < \frac{5\pi}{6} < \pi$, условие выполняется.

Следовательно, $arcctg\left(ctg\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{5\pi}{6}$.

2) Вычислим $arcctg\left(ctg\frac{3\pi}{4}\right)$.

Как и в предыдущем примере, используем свойство $arcctg(ctg(x)) = x$ при $x \in (0; \pi)$.

Проверим, принадлежит ли угол $\frac{3\pi}{4}$ этому интервалу.

Поскольку $0 < \frac{3\pi}{4} < \pi$, условие выполняется.

Следовательно, $arcctg\left(ctg\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

3) Вычислим $arcctg\left(2\sin\frac{5\pi}{6}\right)$.

Сначала найдем значение выражения в скобках. Применим формулу приведения для синуса: $sin\frac{5\pi}{6} = sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = sin\frac{\pi}{6}$.

Табличное значение $sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$arcctg\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) = arcctg(1)$.

По определению, $arcctg(1)$ — это такой угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен 1. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

4) Вычислим $arcctg\left(2\sin\frac{\pi}{3}\right)$.

Сначала найдем значение выражения в скобках. Табличное значение $sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$arcctg\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = arcctg(\sqrt{3})$.

По определению, $arcctg(\sqrt{3})$ — это такой угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.