Номер 659, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Упражнения к главе 6 - номер 659, страница 197.

Условие.

659 1) $tg \left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1;$

2) $tg \left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}};$

3) $\sqrt{3} - tg \left( x - \frac{\pi}{5} \right) = 0;$

4) $1 - tg \left( x + \frac{\pi}{7} \right) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$.
Общее решение тригонометрического уравнения вида $tg(y) = a$ находится по формуле $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае аргумент тангенса $y = 2x + \frac{\pi}{4}$, а значение $a = -1$.
Подставим эти значения в общую формулу:
$2x + \frac{\pi}{4} = arctg(-1) + \pi n$
Поскольку $arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:
$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
Теперь выразим $x$. Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:
$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$
$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi n$
$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$
Разделим обе части уравнения на 2:
$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $tg(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Подставляем в формулу:
$3x - \frac{\pi}{4} = arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$
Значение арктангенса $arctg(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$.
$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$
Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi n$
$3x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{3} - tg(x - \frac{\pi}{5}) = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, выразив тангенс:
$tg(x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$
Теперь применяем общую формулу $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В этом уравнении $y = x - \frac{\pi}{5}$ и $a = \sqrt{3}$.
$x - \frac{\pi}{5} = arctg(\sqrt{3}) + \pi n$
Поскольку $arctg(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:
$x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$x = \frac{5\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} + \pi n$
$x = \frac{8\pi}{15} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{8\pi}{15} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $1 - tg(x + \frac{\pi}{7}) = 0$.
Преобразуем уравнение, чтобы выделить тангенс:
$tg(x + \frac{\pi}{7}) = 1$
Используем общую формулу решения $y = arctg(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Здесь $y = x + \frac{\pi}{7}$ и $a = 1$.
$x + \frac{\pi}{7} = arctg(1) + \pi n$
Так как $arctg(1) = \frac{\pi}{4}$, уравнение примет вид:
$x + \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
Выразим $x$:
$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{7} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 28:
$x = \frac{7\pi}{28} - \frac{4\pi}{28} + \pi n$
$x = \frac{3\pi}{28} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{28} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.