Номер 662, страница 197 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

662 1) $\text{tg}^2 x + 3 \text{tg} x = 0;$

2) $2 \text{tg}^2 x - \text{tg} x - 3 = 0;$

3) $\text{tg} x - 12 \text{ctg} x + 1 = 0;$

4) $\text{tg} x + \text{ctg} x = 2.$

1) $tg^2 x + 3 tg x = 0$
Данное уравнение является квадратным относительно $tg x$. Сделаем замену переменной: пусть $y = tg x$.
$y^2 + 3y = 0$
Вынесем общий множитель $y$ за скобки:
$y(y + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два случая:
1. $y = 0$
2. $y + 3 = 0 \implies y = -3$
Теперь выполним обратную замену для каждого случая:
1. $tg x = 0 \implies x = arctan(0) + \pi n \implies x = \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tg x = -3 \implies x = arctan(-3) + \pi n \implies x = -arctan(3) + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = \pi n, \quad x = -arctan(3) + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $2 tg^2 x - tg x - 3 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = tg x$. Уравнение примет вид:
$2y^2 - y - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
Корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$
Выполним обратную замену:
1. $tg x = \frac{3}{2} \implies x = arctan(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tg x = -1 \implies x = arctan(-1) + \pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.
Ответ: $x = arctan(\frac{3}{2}) + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.

3) $tg x - 12 ctg x + 1 = 0$
Воспользуемся тригонометрическим тождеством $ctg x = \frac{1}{tg x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $tg x \neq 0$ и $ctg x$ должен быть определен, что означает $sin x \neq 0$ и $cos x \neq 0$. Таким образом, $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.
Подставим тождество в уравнение:
$tg x - \frac{12}{tg x} + 1 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = tg x$, при этом $y \neq 0$.
$y - \frac{12}{y} + 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):
$y^2 - 12 + y = 0 \implies y^2 + y - 12 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$. Оба корня удовлетворяют условию $y \neq 0$.
Выполним обратную замену:
1. $tg x = 3 \implies x = arctan(3) + \pi n$, где $n \in Z$.
2. $tg x = -4 \implies x = arctan(-4) + \pi n \implies x = -arctan(4) + \pi n$, где $n \in Z$.
Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = arctan(3) + \pi n, \quad x = -arctan(4) + \pi n$, где $n \in Z$.

4) $tg x + ctg x = 2$
Используем тождество $ctg x = \frac{1}{tg x}$. ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k \in Z$.
Уравнение примет вид:
$tg x + \frac{1}{tg x} = 2$
Сделаем замену переменной: пусть $y = tg x$, при этом $y \neq 0$.
$y + \frac{1}{y} = 2$
Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = 2y$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$y^2 - 2y + 1 = 0$
Это выражение является полным квадратом разности:
$(y - 1)^2 = 0$
Отсюда следует, что $y - 1 = 0$, то есть $y = 1$.
Выполним обратную замену:
$tg x = 1$
Решением этого уравнения является $x = arctan(1) + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.
Данное решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in Z$.