Номер 593, страница 178 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 593, страница 178.

Условие.

593 Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $ \arcsin(\sqrt{5} - 2) $

2) $ \arcsin(\sqrt{5} - 3) $

3) $ \arcsin(3 - \sqrt{17}) $

4) $ \arcsin(2 - \sqrt{10}) $

5) $ \text{tg}\left( 6 \arcsin \frac{1}{2} \right) $

6) $ \text{tg}\left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение $ \arcsin(\sqrt{5} - 2) $ имеет смысл, если его аргумент принадлежит отрезку $ [-1; 1] $. Проверим выполнение двойного неравенства: $ -1 \le \sqrt{5} - 2 \le 1 $.

Сравним $ \sqrt{5} - 2 $ с $ -1 $. Неравенство $ \sqrt{5} - 2 \ge -1 $ равносильно неравенству $ \sqrt{5} \ge 1 $. Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $ 5 \ge 1 $. Это верное неравенство.

Сравним $ \sqrt{5} - 2 $ с $ 1 $. Неравенство $ \sqrt{5} - 2 \le 1 $ равносильно неравенству $ \sqrt{5} \le 3 $. Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат: $ 5 \le 9 $. Это верное неравенство.

Поскольку $ -1 \le \sqrt{5} - 2 \le 1 $, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) Выражение $ \arcsin(\sqrt{5} - 3) $ имеет смысл, если $ -1 \le \sqrt{5} - 3 \le 1 $.

Сравним $ \sqrt{5} - 3 $ с $ -1 $. Неравенство $ \sqrt{5} - 3 \ge -1 $ равносильно неравенству $ \sqrt{5} \ge 2 $. Возведя в квадрат обе неотрицательные части, получим $ 5 \ge 4 $, что верно.

Сравним $ \sqrt{5} - 3 $ с $ 1 $. Неравенство $ \sqrt{5} - 3 \le 1 $ равносильно неравенству $ \sqrt{5} \le 4 $. Возведя в квадрат обе неотрицательные части, получим $ 5 \le 16 $, что верно.

Поскольку $ -1 \le \sqrt{5} - 3 \le 1 $, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) Выражение $ \arcsin(3 - \sqrt{17}) $ имеет смысл, если $ -1 \le 3 - \sqrt{17} \le 1 $.

Проверим левую часть неравенства: $ -1 \le 3 - \sqrt{17} $. Это равносильно $ \sqrt{17} \le 3 + 1 $, то есть $ \sqrt{17} \le 4 $. Возведя обе неотрицательные части в квадрат, получаем $ 17 \le 16 $, что является ложным неравенством. (Так как $ \sqrt{16}=4 $, а $ \sqrt{17} > 4 $, то $ 3 - \sqrt{17} < 3 - 4 = -1 $).

Так как $ 3 - \sqrt{17} < -1 $, значение аргумента выходит за область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

4) Выражение $ \arcsin(2 - \sqrt{10}) $ имеет смысл, если $ -1 \le 2 - \sqrt{10} \le 1 $.

Проверим левую часть неравенства: $ -1 \le 2 - \sqrt{10} $. Это равносильно $ \sqrt{10} \le 2 + 1 $, то есть $ \sqrt{10} \le 3 $. Возведя обе неотрицательные части в квадрат, получаем $ 10 \le 9 $, что является ложным неравенством. (Так как $ \sqrt{9}=3 $, а $ \sqrt{10} > 3 $, то $ 2 - \sqrt{10} < 2 - 3 = -1 $).

Так как $ 2 - \sqrt{10} < -1 $, значение аргумента выходит за область определения арксинуса.

Ответ: не имеет смысла.

5) Выражение $ \tg(6 \arcsin \frac{1}{2}) $ имеет смысл, если, во-первых, имеет смысл $ \arcsin \frac{1}{2} $, и, во-вторых, аргумент тангенса не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Выражение $ \arcsin \frac{1}{2} $ имеет смысл, так как $ -1 \le \frac{1}{2} \le 1 $. Значение $ \arcsin \frac{1}{2} $ равно $ \frac{\pi}{6} $.

Теперь вычислим аргумент тангенса: $ 6 \cdot \arcsin \frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi $.

Проверим, определен ли $ \tg(\pi) $. Функция тангенса не определена для углов вида $ \frac{\pi}{2} + \pi k $. Проверим, равен ли $ \pi $ этому выражению для какого-либо целого $ k $: $ \pi = \frac{\pi}{2} + \pi k $. Разделив на $ \pi $, получим $ 1 = \frac{1}{2} + k $, откуда $ k = \frac{1}{2} $. Так как $ k $ не является целым числом, $ \pi $ не входит в число точек, где тангенс не определен.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

6) Выражение $ \tg(2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}) $ имеет смысл, если аргумент тангенса не равен $ \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Сначала найдем значение $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} $. Оно имеет смысл, так как $ -1 \le \frac{\sqrt{2}}{2} \le 1 $. Значение $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} $ равно $ \frac{\pi}{4} $.

Теперь вычислим аргумент тангенса: $ 2 \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $.

Функция $ \tg(x) $ не определена в точках $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $. При $ k=0 $ получаем $ x = \frac{\pi}{2} $. Таким образом, $ \tg(\frac{\pi}{2}) $ не определен.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.