Номер 586, страница 177 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 34. Уравнение sinx=a - номер 586, страница 177.

Условие.

Вычислить (586—587).

586 1) $ \arcsin 0; $

2) $ \arcsin 1; $

3) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}; $

4) $ \arcsin \frac{1}{2}; $

5) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

6) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) По определению арксинуса, $\arcsin a$ — это угол $y$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
Требуется найти угол $y$, для которого $\sin y = 0$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Функция синус принимает значение $0$ при углах $y = k\pi$, где $k$ — целое число.
Единственное значение из этого множества, которое попадает в промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, — это $0$ (при $k=0$).
Таким образом, $\arcsin 0 = 0$.
Ответ: $0$.

2) Требуется найти угол $y$, для которого $\sin y = 1$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Функция синус принимает значение $1$ при углах $y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.
Единственное значение из этого множества, которое попадает в промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, — это $\frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).
Таким образом, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

3) Требуется найти угол $y$, для которого $\sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, так как $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, $\frac{\pi}{3} \approx 1.05$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Таким образом, $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

4) Требуется найти угол $y$, для которого $\sin y = \frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Таким образом, $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

5) Для вычисления арксинуса отрицательного аргумента используется свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
Применим это свойство: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Теперь найдем $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Нам нужен угол $y$, для которого $\sin y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$.
Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Угол $\frac{\pi}{4}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Тогда $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$.

6) Воспользуемся свойством нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Из решения пункта 3) мы уже знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Таким образом, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Угол $-\frac{\pi}{3}$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, поэтому это и есть искомое значение.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.