Номер 579, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 579, страница 172.

Условие.

579 Решить уравнение:

1) $arccos (2x - 3) = \frac{\pi}{3}$;

2) $arccos \frac{x + 1}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\arccos(2x - 3) = \frac{\pi}{3}$

По определению арккосинуса, если $\arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом должны выполняться условия: $-1 \le a \le 1$ и $0 \le b \le \pi$.

В данном уравнении правая часть $b = \frac{\pi}{3}$ удовлетворяет условию $0 \le \frac{\pi}{3} \le \pi$, значит, решение существует.

Применим определение к нашему уравнению:

$2x - 3 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Значение косинуса от $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{1}{2}$, поэтому:

$2x - 3 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = 3 + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{6}{2} + \frac{1}{2}$

$2x = \frac{7}{2}$

$x = \frac{7}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию для аргумента арккосинуса, то есть $-1 \le 2x - 3 \le 1$:

$2\left(\frac{7}{4}\right) - 3 = \frac{7}{2} - 3 = 3.5 - 3 = 0.5$

Поскольку $-1 \le 0.5 \le 1$, условие выполняется. Корень найден верно.

Ответ: $x = \frac{7}{4}$.

2) $\arccos\frac{x+1}{3} = \frac{2\pi}{3}$

Аналогично первому пункту, воспользуемся определением арккосинуса.

Значение $\frac{2\pi}{3}$ находится в области значений арккосинуса $[0, \pi]$, поэтому уравнение имеет решение.

Из уравнения следует:

$\frac{x+1}{3} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

Вычислим значение косинуса, используя формулу приведения:

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{x+1}{3} = -\frac{1}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x+1 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$x+1 = -\frac{3}{2}$

$x = -\frac{3}{2} - 1$

$x = -\frac{3}{2} - \frac{2}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в аргумент арккосинуса и убедившись, что результат лежит в отрезке $[-1, 1]$:

$\frac{-\frac{5}{2} + 1}{3} = \frac{-\frac{5}{2} + \frac{2}{2}}{3} = \frac{-\frac{3}{2}}{3} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $-1 \le -\frac{1}{2} \le 1$, условие выполняется. Решение найдено правильно.

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$.