Номер 578, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 578, страница 172.

Условие.

578 Найти все корни уравнения $cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $|x| < \frac{\pi}{4}.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти общее решение тригонометрического уравнения, а затем отобрать из него те корни, которые удовлетворяют заданному неравенству.

Шаг 1: Решение уравнения $cos 4x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по общей формуле для косинуса:

$4x = ±\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in Z$ (множество целых чисел).

Мы знаем, что $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Подставляем это значение в формулу:

$4x = ±\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 4:

$x = \frac{±\frac{\pi}{4} + 2\pi n}{4} = ±\frac{\pi}{16} + \frac{2\pi n}{4}$

Таким образом, общее решение уравнения представляет собой две серии корней:

$x = ±\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in Z$

Шаг 2: Отбор корней, удовлетворяющих неравенству $|x| < \frac{\pi}{4}$

Неравенство с модулем $|x| < \frac{\pi}{4}$ равносильно двойному неравенству:

$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$

Теперь для каждой из двух серий корней найдем те значения $n$, при которых корни попадают в указанный интервал.

Случай 1: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$

Подставим это выражение в двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{4}$

Чтобы решить это неравенство относительно $n$, сначала разделим все его части на $\pi$:

$-\frac{1}{4} < \frac{1}{16} + \frac{n}{2} < \frac{1}{4}$

Теперь умножим все части на 16, чтобы избавиться от дробей:

$-4 < 1 + 8n < 4$

Вычтем 1 из всех частей:

$-5 < 8n < 3$

Разделим все части на 8:

$-\frac{5}{8} < n < \frac{3}{8}$

Единственное целое число $n$, которое находится в этом интервале, — это $n = 0$.

При $n=0$ получаем корень: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{16}$.

Случай 2: $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$

Подставим это выражение в двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2} < \frac{\pi}{4}$

Разделим все части на $\pi$:

$-\frac{1}{4} < -\frac{1}{16} + \frac{n}{2} < \frac{1}{4}$

Умножим все части на 16:

$-4 < -1 + 8n < 4$

Прибавим 1 ко всем частям:

$-3 < 8n < 5$

Разделим все части на 8:

$-\frac{3}{8} < n < \frac{5}{8}$

Единственное целое число $n$, которое находится в этом интервале, — это также $n = 0$.

При $n=0$ получаем корень: $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = -\frac{\pi}{16}$.

Итак, мы нашли два корня уравнения, которые удовлетворяют заданному неравенству.

Ответ: $±\frac{\pi}{16}$.