Номер 577, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 577, страница 172.

Условие.

577 Найти все корни уравнения $\cos 2x = -\frac{1}{2}$ на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}] $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения уравнения $ \cos{2x} = -\frac{1}{2} $ сначала найдем его общее решение. Аргумент косинуса $2x$ должен удовлетворять следующему соотношению:

$ 2x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (множество целых чисел).

Значение арккосинуса от $-\frac{1}{2}$ равно $ \frac{2\pi}{3} $. Подставим это значение в формулу:

$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $

Это дает две серии решений:

1) $ x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi n $

2) $ x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n $

Теперь необходимо выбрать те корни, которые принадлежат отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right] $. Сделаем это для каждой серии путем подбора целых значений $n$.

Для первой серии $ x_1 = \frac{\pi}{3} + \pi n $:

Решим двойное неравенство $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{5\pi}{2} $. Разделим все части на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{3} + n \le \frac{5}{2} $

Вычтем $ \frac{1}{3} $ из всех частей:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \le n \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3} $

$ -\frac{5}{6} \le n \le \frac{13}{6} $

В этом диапазоне находятся целые числа $ n = 0, 1, 2 $.

При $ n=0, x = \frac{\pi}{3} $.

При $ n=1, x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} $.

При $ n=2, x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} $.

Для второй серии $ x_2 = -\frac{\pi}{3} + \pi n $:

Решим двойное неравенство $ -\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{5\pi}{2} $. Разделим все части на $ \pi $:

$ -\frac{1}{2} \le -\frac{1}{3} + n \le \frac{5}{2} $

Прибавим $ \frac{1}{3} $ ко всем частям:

$ -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \le n \le \frac{5}{2} + \frac{1}{3} $

$ -\frac{1}{6} \le n \le \frac{17}{6} $

В этом диапазоне находятся целые числа $ n = 0, 1, 2 $.

При $ n=0, x = -\frac{\pi}{3} $.

При $ n=1, x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} $.

При $ n=2, x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} $.

Объединяя все найденные корни и располагая их в порядке возрастания, получаем: $ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3} $.