Номер 576, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 576, страница 172.

Условие.

576 Решить уравнение:

1) $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x;$

2) $4 \cos^2 x = 3;$

3) $2 \cos^2 x = 1 + 2 \sin^2 x;$

4) $2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2};$

5) $(1 + \cos x) (3 - 2 \cos x) = 0;$

6) $(1 - \cos x) (4 + 3 \cos 2x) = 0;$

7) $(1 + 2 \cos x) (1 - 3 \cos x) = 0;$

8) $(1 - 2 \cos x) (2 + 3 \cos x) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$

Перенесем $\sin^2 2x$ в левую часть уравнения:

$\cos^2 2x - \sin^2 2x = 1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. В данном случае $\alpha = 2x$:

$\cos(2 \cdot 2x) = 1$

$\cos(4x) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$4x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 \cos^2 x = 3$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\cos^2 x = \frac{3}{4}$

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части на 4:

$2(1 + \cos(2x)) = 3$

$2 + 2\cos(2x) = 3$

$2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решаем полученное уравнение:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $2 \cos^2 x = 1 + 2 \sin^2 x$

Перенесем $2 \sin^2 x$ в левую часть:

$2 \cos^2 x - 2 \sin^2 x = 1$

Вынесем 2 за скобки:

$2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 1$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:

$2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Найдем $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $2\sqrt{2} \cos^2 x = 1 + \sqrt{2}$

Выразим $\cos^2 x$:

$\cos^2 x = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) = \frac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{2} = \frac{\sqrt{2} + 2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

$1 + \cos(2x) = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем уравнение:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Находим $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) $(1 + \cos x)(3 - 2 \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем уравнение на два:

1) $1 + \cos x = 0 \implies \cos x = -1$

Решением этого уравнения является $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $3 - 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = 3 \implies \cos x = \frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$.

Объединяя результаты, получаем единственную серию решений.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6) $(1 - \cos x)(4 + 3 \cos 2x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разобьем уравнение на два:

1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$

Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $4 + 3 \cos 2x = 0 \implies 3 \cos 2x = -4 \implies \cos 2x = -\frac{4}{3}$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-\frac{4}{3} < -1$.

Объединяя результаты, получаем единственную серию решений.

Ответ: $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

7) $(1 + 2 \cos x)(1 - 3 \cos x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $1 + 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = -1 \implies \cos x = -\frac{1}{2}$

Решением является $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 - 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{3}$

Решением является $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения обоих случаев.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$; $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

8) $(1 - 2 \cos x)(2 + 3 \cos x) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $1 - 2 \cos x = 0 \implies 2 \cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2}$

Решением является $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $2 + 3 \cos x = 0 \implies 3 \cos x = -2 \implies \cos x = -\frac{2}{3}$

Решением является $x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения обоих случаев.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.