Номер 571, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 571, страница 172.

Условие.

Решить уравнение (571—573).

571 1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

2) $\cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2}$;

3) $\cos x = - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение: $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $cos x = a$. Общее решение для такого уравнения имеет вид: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем это значение в формулу:
$x = \pm\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Значение арккосинуса для $\frac{\sqrt{2}}{2}$ является табличным: $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, получаем общее решение:
$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение: $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение для уравнения вида $cos x = a$ записывается как $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения значения арккосинуса отрицательного числа используем свойство: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Табличное значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.
Тогда, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Подставляем найденное значение в общее решение:
$x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение: $cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Уравнение принимает вид: $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Используем общую формулу для решения уравнения $cos x = a$: $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Используем свойство $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$:
$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
Табличное значение $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общее решение:
$x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.