Номер 568, страница 171 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 33. Уравнение cosx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 568, страница 171.

Вычислить (568–569).

568 1) $arccos 0$;

2) $arccos 1$;

3) $arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $arccos \frac{1}{2}$;

5) $arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

6) $arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

1) arccos 0

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos(a)$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. То есть, $\arccos(a) = \alpha$ равносильно $\cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 0$. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

2) arccos 1

Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = 1$. Этому условию соответствует угол $0$.
Ответ: $0$

3) arccos $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это табличное значение для косинуса. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

4) arccos $\frac{1}{2}$

Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, для которого $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$. Это также табличное значение. Этому условию соответствует угол $\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

5) arccos $(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используется свойство: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
В нашем случае, $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.
Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

6) arccos $(-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Используем то же свойство: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
В нашем случае, $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$