Номер 572, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 572, страница 172.

Условие.

572 1) $ \cos x = \frac{3}{4} $;

2) $ \cos x = -0,3 $;

3) $ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано тригонометрическое уравнение $ \cos x = \frac{3}{4} $.

Общее решение уравнения вида $ \cos x = a $, где $ |a| \le 1 $, записывается по формуле: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $ ( $k$ — любое целое число).

В данном случае $ a = \frac{3}{4} $. Так как $ |\frac{3}{4}| = \frac{3}{4} < 1 $, уравнение имеет решения.

Подставим значение $ a $ в формулу:

$ x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Поскольку $ \frac{3}{4} $ не является табличным значением косинуса, ответ остается в таком виде.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Дано тригонометрическое уравнение $ \cos x = -0,3 $.

Используем ту же общую формулу для решения: $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -0,3 $. Условие $ |a| \le 1 $ выполняется, так как $ |-0,3| = 0,3 < 1 $.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \pm \arccos(-0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Можно также использовать свойство арккосинуса $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $, чтобы выразить решение как $ x = \pm (\pi - \arccos(0,3)) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $. Оба варианта записи являются правильными.

Ответ: $ x = \pm \arccos(-0,3) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Дано тригонометрическое уравнение $ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Снова применяем общую формулу решения $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Здесь $ a = -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Проверим, выполняется ли условие $ |a| \le 1 $:

$ \left|-\frac{\sqrt{3}}{3}\right| = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Поскольку $ \sqrt{3} \approx 1,732 $, то $ \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0,577 $, что меньше 1. Уравнение имеет решения.

Подставляем значение $ a $ в формулу:

$ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Как и в предыдущем пункте, можно использовать тождество $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $ и записать ответ в виде $ x = \pm \left(\pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.