Номер 565, страница 167 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 565, страница 167.

Условие.

565 Найти значение выражения $\frac{\sin \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}$, если $\text{tg} \alpha = 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значение данного выражения, зная значение тангенса угла, преобразуем это выражение так, чтобы оно содержало только $\tan \alpha$. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на $\cos^3 \alpha$. Это возможно, так как если $\cos \alpha = 0$, то $\tan \alpha$ не определен, что противоречит условию $\tan \alpha = 2$.

Исходное выражение:

$\frac{\sin \alpha}{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}$

Разделим числитель и знаменатель на $\cos^3 \alpha$:

$\frac{\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha}}{\frac{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha}}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель:

$\frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

Зная, что $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ и используя тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha$, получаем:

$\tan \alpha \cdot (1 + \tan^2 \alpha)$

Знаменатель:

$\frac{\sin^3 \alpha + 3 \cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha}{\cos^3 \alpha} + \frac{3 \cos^3 \alpha}{\cos^3 \alpha} = \tan^3 \alpha + 3$

Таким образом, все выражение можно записать в виде:

$\frac{\tan \alpha (1 + \tan^2 \alpha)}{\tan^3 \alpha + 3}$

Теперь подставим заданное значение $\tan \alpha = 2$ в полученное выражение:

$\frac{2 \cdot (1 + 2^2)}{2^3 + 3} = \frac{2 \cdot (1 + 4)}{8 + 3} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{10}{11}$