Номер 567, страница 167 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 567, страница 167.

Условие.

567 1) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \frac{1}{8} (5 + 3 \cos 4\alpha);$

2) $\sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha = \frac{1}{32} (\cos^2 4\alpha + 14 \cos 4\alpha + 17).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества $ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = \frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4\alpha) $ преобразуем его левую часть.

Воспользуемся формулой суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $, где $ a = \sin^2 \alpha $ и $ b = \cos^2 \alpha $.

$ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha)^3 + (\cos^2 \alpha)^3 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) $.

Так как основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $, выражение упрощается до:

$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Теперь преобразуем сумму $ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha $, выделив полный квадрат:

$ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha)^2 + (\cos^2 \alpha)^2 = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Подставим это обратно в наше выражение:

$ (1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $, откуда $ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\frac{\sin 2\alpha}{2})^2 = \frac{\sin^2 2\alpha}{4} $.

Выражение принимает вид: $ 1 - 3 \cdot \frac{\sin^2 2\alpha}{4} = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2\alpha $.

Применим формулу понижения степени для синуса $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $. Для $ x = 2\alpha $ получаем $ \sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2\alpha)}{2} = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} $.

Подставляем и упрощаем:

$ 1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \frac{3(1 - \cos 4\alpha)}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3 - 3 \cos 4\alpha}{8} = \frac{8 - 3 + 3 \cos 4\alpha}{8} = \frac{5 + 3 \cos 4\alpha}{8} $.

Таким образом, мы получили правую часть исходного тождества: $ \frac{1}{8}(5 + 3 \cos 4\alpha) $.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $ \sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha = \frac{1}{32}(\cos^2 4\alpha + 14 \cos 4\alpha + 17) $ преобразуем его левую часть.

Представим левую часть как сумму квадратов: $ \sin^8 \alpha + \cos^8 \alpha = (\sin^4 \alpha)^2 + (\cos^4 \alpha)^2 $.

Используем формулу $ a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab $, где $ a = \sin^4 \alpha $ и $ b = \cos^4 \alpha $.

$ (\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha)^2 - 2 \sin^4 \alpha \cos^4 \alpha $.

Из решения первого пункта мы знаем, что $ \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha $. Также мы знаем, что $ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha $. Следовательно, $ \sin^4 \alpha \cos^4 \alpha = (\frac{1}{4} \sin^2 2\alpha)^2 = \frac{1}{16} \sin^4 2\alpha $.

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$ (1 - 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha)^2 - 2 \cdot \frac{1}{16} \sin^4 2\alpha = (1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha)^2 - \frac{1}{8} \sin^4 2\alpha $.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$ 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha + (\frac{1}{2} \sin^2 2\alpha)^2 - \frac{1}{8} \sin^4 2\alpha = 1 - \sin^2 2\alpha + \frac{1}{4} \sin^4 2\alpha - \frac{1}{8} \sin^4 2\alpha $.

Приведем подобные слагаемые: $ 1 - \sin^2 2\alpha + \frac{1}{8} \sin^4 2\alpha $.

Теперь снова используем формулы понижения степени: $ \sin^2 2\alpha = \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} $ и $ \sin^4 2\alpha = (\sin^2 2\alpha)^2 = (\frac{1 - \cos 4\alpha}{2})^2 = \frac{1 - 2 \cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{4} $.

Подставим их в наше выражение:

$ 1 - \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{1 - 2 \cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{4} = 1 - \frac{1 - \cos 4\alpha}{2} + \frac{1 - 2 \cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{32} $.

Приведем все к общему знаменателю 32:

$ \frac{32}{32} - \frac{16(1 - \cos 4\alpha)}{32} + \frac{1 - 2 \cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{32} $.

Объединим дроби и раскроем скобки в числителе:

$ \frac{32 - 16 + 16 \cos 4\alpha + 1 - 2 \cos 4\alpha + \cos^2 4\alpha}{32} $.

Сгруппируем подобные члены в числителе:

$ \frac{\cos^2 4\alpha + (16-2)\cos 4\alpha + (32-16+1)}{32} = \frac{\cos^2 4\alpha + 14 \cos 4\alpha + 17}{32} $.

Это равно $ \frac{1}{32}(\cos^2 4\alpha + 14 \cos 4\alpha + 17) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.