Номер 574, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 574, страница 172.

Условие.

574 1) $cos x cos 3x = sin 3x sin x$;

2) $cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\cos x \cos 3x = \sin 3x \sin x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\cos x \cos 3x - \sin 3x \sin x = 0$

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$. Применим эту формулу:

$\cos(x + 3x) = 0$

$\cos(4x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле $t = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для нашего случая, где $t = 4x$:

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу:

$\cos(2x - x) = 0$

$\cos(x) = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение находится по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.