Номер 575, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

§ 33. Уравнение cosx=a. Глава 6. Тригонометрические уравнения - номер 575, страница 172.

575 Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $\arccos(\sqrt{6} - 3);$

2) $\arccos(\sqrt{7} - 2);$

3) $\arccos(2 - \sqrt{10});$

4) $\arccos(1 - \sqrt{5});$

5) $\text{tg}\left(3 \arccos \frac{1}{2}\right).$

Для того чтобы выяснить, имеет ли смысл выражение, необходимо проанализировать область определения входящих в него функций.

Область определения функции арккосинус $y = \arccos(x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. То есть выражение $\arccos(a)$ имеет смысл только при условии, что $-1 \le a \le 1$.

1) $\arccos(\sqrt{6} - 3)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{6} - 3$ отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение $\sqrt{6}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{6} < 3$.

Проверим левую границу: $\sqrt{6} - 3 \ge -1$.

$\sqrt{6} \ge 2$.

Возведем обе части неравенства в квадрат (так как обе части неотрицательны): $6 \ge 4$. Неравенство верное.

Проверим правую границу: $\sqrt{6} - 3 \le 1$.

$\sqrt{6} \le 4$.

Возведем обе части в квадрат: $6 \le 16$. Неравенство верное.

Так как $-1 \le \sqrt{6} - 3 \le 1$, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\arccos(\sqrt{7} - 2)$

Проверим, принадлежит ли аргумент $\sqrt{7} - 2$ отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{7} < 3$.

Проверим левую границу: $\sqrt{7} - 2 \ge -1$.

$\sqrt{7} \ge 1$.

Возведем обе части в квадрат: $7 \ge 1$. Неравенство верное.

Проверим правую границу: $\sqrt{7} - 2 \le 1$.

$\sqrt{7} \le 3$.

Возведем обе части в квадрат: $7 \le 9$. Неравенство верное.

Так как $-1 \le \sqrt{7} - 2 \le 1$, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\arccos(2 - \sqrt{10})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $2 - \sqrt{10}$ отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение $\sqrt{10}$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, следовательно, $3 < \sqrt{10} < 4$.

Тогда $2 - \sqrt{10}$ будет отрицательным числом. $2 - 4 < 2 - \sqrt{10} < 2 - 3$, то есть $-2 < 2 - \sqrt{10} < -1$.

Проверим точнее, сравним $2 - \sqrt{10}$ с $-1$.

$2 - \sqrt{10} \ge -1 \iff 3 \ge \sqrt{10}$.

Возведем обе части в квадрат (обе части положительны): $9 \ge 10$. Неравенство ложное.

Поскольку $2 - \sqrt{10} < -1$, аргумент арккосинуса находится вне области определения.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\arccos(1 - \sqrt{5})$

Проверим, принадлежит ли аргумент $1 - \sqrt{5}$ отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$.

Тогда $1 - \sqrt{5}$ будет отрицательным числом. $1 - 3 < 1 - \sqrt{5} < 1 - 2$, то есть $-2 < 1 - \sqrt{5} < -1$.

Проверим точнее, сравним $1 - \sqrt{5}$ с $-1$.

$1 - \sqrt{5} \ge -1 \iff 2 \ge \sqrt{5}$.

Возведем обе части в квадрат: $4 \ge 5$. Неравенство ложное.

Поскольку $1 - \sqrt{5} < -1$, аргумент арккосинуса находится вне области определения.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\tg(3 \arccos \frac{1}{2})$

Выражение имеет смысл, если значение под знаком тангенса определено и не равно $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Сначала найдем значение аргумента тангенса. Для этого вычислим $\arccos \frac{1}{2}$.

По определению, $\arccos \frac{1}{2}$ — это угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Теперь найдем аргумент тангенса: $3 \arccos \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi$.

Теперь нужно проверить, имеет ли смысл $\tg(\pi)$.

Функция тангенса не определена в точках $\frac{\pi}{2} + \pi k$. Проверим, можно ли представить $\pi$ в таком виде для целого $k$:

$\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies 1 = \frac{1}{2} + k \implies k = \frac{1}{2}$.

Поскольку $k = \frac{1}{2}$ не является целым числом, точка $\pi$ не входит в число точек, где тангенс не определен.

Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.