Номер 582, страница 173 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 582, страница 173.

Условие.

582 Вычислить:

1) $ \sin \left(\arccos \frac{1}{3} + \arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}\right);$

2) $ \cos \left(\arccos \frac{4}{5} - \arccos \frac{3}{5}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sin(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3})$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$.

Пусть $x = \arccos\frac{1}{3}$ и $y = \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

По определению арккосинуса, имеем:

$\cos x = \frac{1}{3}$ и $\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Также, по определению, $x \in [0, \pi]$ и $y \in [0, \pi]$. Поскольку косинусы обоих углов положительны, они оба находятся в первой четверти: $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $y \in [0, \frac{\pi}{2}]$. В этой четверти синусы углов также положительны.

Найдем $\sin x$ и $\sin y$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2x} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2y} = \sqrt{1 - (\frac{2\sqrt{2}}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{8}{9}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу синуса суммы:

$\sin(\arccos\frac{1}{3} + \arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}) = \sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1$.

Ответ: $1$.

2) $\cos(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5})$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой косинуса разности двух углов: $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Пусть $x = \arccos\frac{4}{5}$ и $y = \arccos\frac{3}{5}$.

По определению арккосинуса, имеем:

$\cos x = \frac{4}{5}$ и $\cos y = \frac{3}{5}$.

Как и в предыдущем пункте, $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ и $y \in [0, \frac{\pi}{2}]$, поэтому их синусы положительны.

Найдем $\sin x$ и $\sin y$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2x} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2y} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу косинуса разности:

$\cos(\arccos\frac{4}{5} - \arccos\frac{3}{5}) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}$.

Ответ: $\frac{24}{25}$.