Номер 583, страница 173 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 583, страница 173.

Условие.

583 Упростить выражение $ \cos (2 \arccos a) $, если $ -1 \le a \le 1 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения выражения $\cos(2 \arccos a)$ воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла:

$\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$

Пусть в нашем случае $\alpha = \arccos a$. Тогда, подставив это в формулу, получим:

$\cos(2 \arccos a) = 2\cos^2(\arccos a) - 1$

Выражение $\cos^2(\arccos a)$ можно записать как $(\cos(\arccos a))^2$.

По определению арккосинуса, для любого $a$, удовлетворяющего условию $-1 \le a \le 1$, справедливо тождество:

$\cos(\arccos a) = a$

Поскольку в условии задачи дано, что $-1 \le a \le 1$, мы можем использовать это тождество для нашего выражения.

Подставим $a$ вместо $\cos(\arccos a)$ в полученную ранее формулу:

$2(\cos(\arccos a))^2 - 1 = 2a^2 - 1$

Таким образом, мы упростили исходное выражение.

Ответ: $2a^2 - 1$