Номер 584, страница 173 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 584, страница 173.

Условие.

584 Доказать, что если $-1 \leq a \leq 1$, то $2 \arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}} = \arccos a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества $2 \arccos{\sqrt{\frac{1+a}{2}}} = \arccos{a}$ при условии $-1 \le a \le 1$, произведем замену переменной.

Пусть $x = \arccos a$.

Согласно определению функции арккосинус, из условия $-1 \le a \le 1$ следует, что переменная $x$ находится в диапазоне $0 \le x \le \pi$. Также из нашей замены следует, что $a = \cos x$.

Теперь подставим выражение для $a$ в левую часть исходного равенства:

$2 \arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}} = 2 \arccos\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

Используем тригонометрическую формулу косинуса половинного угла:

$\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1+\cos x}{2}$

Подставим это в наше выражение:

$2 \arccos\sqrt{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} = 2 \arccos\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right|$

Теперь определим знак выражения $\cos\left(\frac{x}{2}\right)$. Мы знаем, что $0 \le x \le \pi$. Разделив это неравенство на 2, получим диапазон для $\frac{x}{2}$:

$0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$

В первой четверти (от $0$ до $\frac{\pi}{2}$) косинус является неотрицательной функцией, то есть $\cos\left(\frac{x}{2}\right) \ge 0$. Следовательно, мы можем убрать модуль:

$\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \cos\left(\frac{x}{2}\right)$

Наше выражение принимает вид:

$2 \arccos\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)$

Поскольку $0 \le \frac{x}{2} \le \frac{\pi}{2}$, значение $\frac{x}{2}$ находится в области значений функции арккосинус ($[0, \pi]$). Это позволяет нам применить тождество $\arccos(\cos y) = y$ для $y \in [0, \pi]$. В нашем случае $y = \frac{x}{2}$.

$2 \cdot \frac{x}{2} = x$

Мы преобразовали левую часть уравнения и получили $x$. Вспомним, что мы изначально определили $x = \arccos a$, что является правой частью исходного уравнения.

Таким образом, мы показали, что левая часть равна $x$ и правая часть равна $x$, следовательно, тождество верно.

Ответ: Что и требовалось доказать.