Номер 581, страница 173 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 581, страница 173.

Условие.

581 Доказать, что $\arccos (\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$. Вычислить:

1) $5 \arccos \left(\cos \frac{\pi}{10}\right)$;

2) $3 \arccos (\cos 2)$;

3) $\arccos \left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)$;

4) $\arccos (\cos 4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство:

По определению, $y = \arccos(x)$ — это такое число $y$ из отрезка $[0, \pi]$, что $\cos(y) = x$.

Пусть $y = \arccos(\cos \alpha)$.

Согласно определению арккосинуса, это означает, что должны выполняться два условия:

1. $\cos(y) = \cos \alpha$
2. $0 \le y \le \pi$

По условию задачи, мы рассматриваем случай, когда $0 \le \alpha \le \pi$.

Функция $f(t) = \cos t$ на отрезке $[0, \pi]$ является монотонно убывающей, а значит, каждое своё значение принимает только один раз. Поэтому из равенства $\cos(y) = \cos \alpha$ при условиях $y \in [0, \pi]$ и $\alpha \in [0, \pi]$ следует, что $y = \alpha$.

Таким образом, мы доказали, что $\arccos(\cos \alpha) = \alpha$ при $0 \le \alpha \le \pi$.

Вычисления:

1) $5 \arccos(\cos \frac{\pi}{10})$

Угол $\alpha = \frac{\pi}{10}$ удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \pi$, так как $0 \le \frac{\pi}{10} \le \pi$.

Следовательно, мы можем применить доказанное тождество: $\arccos(\cos \frac{\pi}{10}) = \frac{\pi}{10}$.

Тогда исходное выражение равно: $5 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2) $3 \arccos(\cos 2)$

Угол $\alpha = 2$ (радианы) удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \pi$, так как $\pi \approx 3.14159$, и, следовательно, $0 \le 2 \le \pi$.

Применяем тождество: $\arccos(\cos 2) = 2$.

Тогда исходное выражение равно: $3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3) $\arccos(\cos \frac{8\pi}{7})$

Угол $\alpha = \frac{8\pi}{7}$ не удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \pi$, так как $\frac{8\pi}{7} > \pi$.

Нам нужно найти такой угол $\beta \in [0, \pi]$, для которого $\cos \beta = \cos \alpha$. Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.

Пусть $\beta = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{8\pi}{7} = \frac{14\pi - 8\pi}{7} = \frac{6\pi}{7}$.

Проверим, принадлежит ли $\beta = \frac{6\pi}{7}$ отрезку $[0, \pi]$: $0 \le \frac{6\pi}{7} \le \pi$. Это верно.

Следовательно, $\arccos(\cos \frac{8\pi}{7}) = \arccos(\cos \frac{6\pi}{7}) = \frac{6\pi}{7}$, так как аргумент косинуса теперь находится в нужном промежутке.

Ответ: $\frac{6\pi}{7}$.

4) $\arccos(\cos 4)$

Угол $\alpha = 4$ (радианы) не удовлетворяет условию $0 \le \alpha \le \pi$, так как $4 > \pi \approx 3.14159$.

Как и в предыдущем пункте, ищем угол $\beta \in [0, \pi]$ такой, что $\cos \beta = \cos 4$. Используем свойство $\cos(x) = \cos(2\pi - x)$.

Пусть $\beta = 2\pi - 4$.

Проверим, принадлежит ли $\beta$ отрезку $[0, \pi]$. Учитывая, что $\pi \approx 3.14159$, имеем $2\pi \approx 6.28318$.

$\beta = 2\pi - 4 \approx 6.283 - 4 = 2.283$.

Так как $0 \le 2.283 \le 3.14159$, то и $0 \le 2\pi - 4 \le \pi$.

Следовательно, $\arccos(\cos 4) = \arccos(\cos(2\pi - 4)) = 2\pi - 4$.

Ответ: $2\pi - 4$.