Номер 570, страница 172 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 6. Тригонометрические уравнения. Параграф 33. Уравнение cosx=a - номер 570, страница 172.

Условие.

570 Сравнить числа:

1) $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \arccos \frac{1}{2}; $

2) $ \arccos \left(-\frac{3}{4}\right) $ и $ \arccos (-1); $

3) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $ и $ \arccos \left(-\frac{1}{2}\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сравним числа $arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $arccos \frac{1}{2}$.

Основное свойство функции $y = arccos(x)$ заключается в том, что она является убывающей на всей своей области определения, то есть на отрезке $[-1, 1]$. Это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого отрезка, если $x_1 > x_2$, то $arccos(x_1) < arccos(x_2)$.

Сначала сравним аргументы арккосинусов: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$.

Мы знаем, что $\sqrt{3} \approx 1.732$, поэтому $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. Число $\frac{1}{2} = 0.5$.

Поскольку $0.866 > 0.5$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$.

Так как функция арккосинус убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $arccos \frac{\sqrt{3}}{2} < arccos \frac{1}{2}$.

В качестве альтернативного способа, можно найти точные значения выражений:

$arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ (поскольку $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ лежит в промежутке $[0, \pi]$).

$arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ (поскольку $cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и угол $\frac{\pi}{3}$ лежит в промежутке $[0, \pi]$).

Сравнивая $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$, получаем $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $arccos \frac{\sqrt{3}}{2} < arccos \frac{1}{2}$.

2) Сравним числа $arccos(-\frac{3}{4})$ и $arccos(-1)$.

Используем то же свойство убывания функции $y = arccos(x)$.

Сравним аргументы: $-\frac{3}{4}$ и $-1$.

Поскольку $-\frac{3}{4} = -0.75$, очевидно, что $-0.75 > -1$.

Из-за убывания функции арккосинус, большему значению аргумента $(-\frac{3}{4})$ будет соответствовать меньшее значение функции.

Таким образом, $arccos(-\frac{3}{4}) < arccos(-1)$.

Также можно заметить, что $arccos(-1)$ — это угол, косинус которого равен $-1$, что соответствует $\pi$. Значение $arccos(-\frac{3}{4})$ — это угол $\alpha$ из промежутка $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, так как его косинус отрицателен, но не равен $-1$. Следовательно, $arccos(-\frac{3}{4}) < \pi$, то есть $arccos(-\frac{3}{4}) < arccos(-1)$.

Ответ: $arccos(-\frac{3}{4}) < arccos(-1)$.

3) Сравним числа $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ и $arccos(-\frac{1}{2})$.

Снова воспользуемся свойством убывания функции $y = arccos(x)$.

Сравним аргументы: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\frac{1}{2}$.

Приближенные значения: $\sqrt{2} \approx 1.414$, поэтому $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707$. А $-\frac{1}{2} = -0.5$.

Поскольку $-0.707 < -0.5$, то $-\frac{\sqrt{2}}{2} < -\frac{1}{2}$.

Так как функция арккосинус убывает, меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arccos(-\frac{1}{2})$.

Также можно вычислить точные значения, используя формулу $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь сравним дроби $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{2\pi}{3}$. Приведем их к общему знаменателю 12:

$\frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{12}$

$\frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{12}$

Так как $\frac{9\pi}{12} > \frac{8\pi}{12}$, то $\frac{3\pi}{4} > \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) > arccos(-\frac{1}{2})$.