Номер 564, страница 167 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 564, страница 167.

Условие.

564 $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества преобразуем левую часть выражения. Сгруппируем крайние слагаемые в числителе и знаменателе:

$$ \frac{(\sin \alpha + \sin 5\alpha) + \sin 3\alpha}{(\cos \alpha + \cos 5\alpha) + \cos 3\alpha} $$

Применим формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение (суммы синусов и косинусов):

$$ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $$

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $$

Преобразуем числитель. Сначала применим формулу к сгруппированным слагаемым:

$$ \sin \alpha + \sin 5\alpha = 2 \sin\left(\frac{\alpha+5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha $$

Теперь весь числитель имеет вид:

$$ 2 \sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha $$

Вынесем общий множитель $$ \sin 3\alpha $$ за скобки:

$$ \sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) $$

Аналогично преобразуем знаменатель. Применим формулу к сгруппированным слагаемым:

$$ \cos \alpha + \cos 5\alpha = 2 \cos\left(\frac{\alpha+5\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right) = 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha $$

Теперь весь знаменатель имеет вид:

$$ 2 \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha $$

Вынесем общий множитель $$ \cos 3\alpha $$ за скобки:

$$ \cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1) $$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь:

$$ \frac{\sin 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2 \cos 2\alpha + 1)} $$

Сократим дробь на общий множитель $$ (2 \cos 2\alpha + 1) $$. Данное преобразование возможно при условии, что $$ 2 \cos 2\alpha + 1 \neq 0 $$ и $$ \cos 3\alpha \neq 0 $$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения.

$$ \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} $$

По определению тангенса $$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$, полученное выражение равно $$ \tan 3\alpha $$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.