Номер 557, страница 166 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Глава 5. Тригонометрические формулы. Упражнения к главе 5 - номер 557, страница 166.

Условие.

557 Упростить выражение $(\frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}) \cdot \frac{1 - \cos 4\alpha}{\cos (\pi - \beta + \alpha)}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения выражения преобразуем каждый из двух множителей по отдельности, а затем найдем их произведение.

Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $ \sin\alpha\cos\alpha $:

$ \left( \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha} \right) = \frac{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} $

В числителе мы видим правую часть формулы косинуса разности: $ \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) $.

Таким образом, первый множитель равен $ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} $.

Теперь упростим второй множитель, который представляет собой дробь $ \frac{1 - \cos 4\alpha}{\cos(\pi - \beta + \alpha)} $.

Числитель дроби $ 1 - \cos 4\alpha $ преобразуется с помощью формулы косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $, из которой следует, что $ 1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x $. Полагая $ x = 2\alpha $, получаем:

$ 1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha) $

Знаменатель дроби $ \cos(\pi - \beta + \alpha) $ преобразуется с помощью формулы приведения. Перегруппируем слагаемые в аргументе косинуса: $ \pi - \beta + \alpha = \pi + (\alpha - \beta) $. Применяя формулу $ \cos(\pi + y) = -\cos y $, получаем:

$ \cos(\pi + (\alpha - \beta)) = -\cos(\alpha - \beta) $

Итак, второй множитель равен $ \frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\alpha - \beta)} $.

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$ \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \alpha} \cdot \frac{2\sin^2(2\alpha)}{-\cos(\alpha - \beta)} $

Сокращаем общий множитель $ \cos(\alpha - \beta) $ в числителе и знаменателе:

$ -\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} $

В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $, откуда $ \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $. Подставим это в наше выражение:

$ -\frac{2\sin^2(2\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} = -2 \cdot 2 \cdot \frac{\sin^2(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} $

После сокращения на $ \sin(2\alpha) $ получаем окончательный результат:

$ -4\sin(2\alpha) $

Ответ: $ -4\sin(2\alpha) $.